动手学数学讨论与解答（21—25）

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　　21．截尾质数
　　研究过程其实非常有趣．在利用树形图寻找质数时，很快就可以发现，除了只能作为起点的2之外，不可能再有其他的偶数．同理，5只能作为起点．此外，当以2开始时，下一个数只能是3或9，因为1或7将使该数能被3整除．以2开始的完整质数树形图如下图所示，此种质数共有24个．

　
　　以下是将其余的此种质数对应至每一分枝终点的数所做的摘要：
　　31193，31379，317，37337999，373393，37397，3793，
　　3797
　　53，59393339，593993，599
　　719333，7331，73331，73939133，7393931，7393933，
　　739397，739399，797
　　这个活动与左质数(left－handed prime)有关．不过，你也可以做右质数(right－handed prime)的研究，例如12647，在由左向右截尾时仍为质数；或是做双侧质数(two－sided prime)的研究，例如317或739397．

　　22．生日巧合

　　如果不考虑生日巧合的概率，而考虑没有人生日相同的概率，会比较容易．
　　首先考虑A与B两人生日不同的概率．例如假设A的生日是在3月25日，则B的生日可能是一年中其他364天中的一天，所以A与B生日不同的概率为364/365．现在考虑第三个人C．C的生日与A、B不同，则一年中还有363天可能是C的生日，所以C与A、B生日不同的概率为363/365．
　　故A、B、C的生日都不相同的概率为：

　　将此论证继续沿用至第四人D，就得出他们生日都不同的概率为：

　　同理，在一个有30名学生的班级中，各人生日都不同的概率为：

　　耐心地使用计算器就可以算出这个值大约是0.294，所以在有30名学生的班级中，至少有两人生日相同的概率是：
　　1－0.294≈0.7
　　顺便说一句，用上述的论证方式可以证明当一个班级有23个学生时，有两人生日相同的概率要比学生数为偶数时高．

　　23．认识正八面体

　　实际做出本题中提到的模型能大大加强学习的效果，因为再怎么仔细阅读文字或看图片说明，也比不上利用模型所得到的经验来得直接．

　
　　由八面体的一个顶点出发，每边只经过一次而回到原点的路径有1488种．
　　你能找到多少种？
　　如果你将八面体的边作拓扑变换(topological transformation)形成如图1的形式，可帮助你思考所有的路径．
　　另有一种做出正八面体的方法，即按照如图2所示的由等边三角形组成的展开图，用纸或卡片制作．将所有的折线刻出印痕，然后将这两边的三角形折叠，先把A折至B．要记得八面体的每一个顶点都有4个三角形，所以这个图应该不难折．最后，将画斜线的三角形折进去，你就有了一个坚固的模型，而且可以展开恢复原状．

　

　　24．邮票册研究

　　(1)英国邮政总局1985年的设计如图1所示，包含3张13p、2张4p与3张1p的邮票．这种设计非常简单，很容易就能

　
　　找到国内邮件(13p与17p)所需的邮票，而且除了200g限时信的38p之外，其他邮费也都能找到．
　　可能的解其实有许多种，都可由邮票册中挑选出所有的邮费．图2和图3是其中的两种．第二种有一个优点，就是当平信的邮费降至12p时也可以使用；事实上，还可以寄4封邮费为12p的信件(见图3)．
　　这种问题可使同学们将算术运用到实际生活中去．
　　(2)不可能的邮费为18p．7p、9p与2p的邮票面值总和为18p，但在邮票册上彼此并没有相连．组成其邮费的方式如下：
　　1p＝1 17p＝1+7＋9
　
　

　　

　
　　2p＝2 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 18p
　　3p＝3 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　19p＝7+9+3
　　4p＝1＋3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 20p＝7＋9＋3＋1
　　5p＝3＋2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　21p＝9＋10＋2
　　6p＝1+3＋2 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 22p＝3＋9＋10
　　7p＝7 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　23p＝1+3+9+10
　　8p＝1＋7　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 24p＝3＋9＋10＋2
　　9p＝9　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　25p＝1＋3＋2＋9＋10
　　10p＝10 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　26p＝7＋9＋10
　　11p＝7＋1＋3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　27p＝1+7＋9＋10
　　12p＝3＋9　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 28p＝7＋9＋10＋2
　　13p＝9＋3＋1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　29p＝1＋7＋9＋10＋2
　　14p＝9＋3+2 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　30p＝1＋3＋7＋9＋10
　　15p＝1＋3＋2＋9　　　　　　　　　　　　　　　　　 　31p＝3＋2＋7＋9＋10
　　16p＝7＋9 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　32p＝1＋3＋2＋7＋9＋10
　　本题能帮助学生熟悉数字之间的基本关系，培养空间感，学生必须做出假设并进行检验．问题是要找出N的极限值，有一种方法是找出从2×3的邮票中撕取一张邮票或一组相连的邮票到底有多少方式．从这一点又可引申出更一般化的空间问题．从m×n的邮票中撕取一张邮票或一组相连的邮票共有多少方式？
　　撕取邮票的方式共有40种，所以这也是N的上限．但由于题目的限制，使得N的最大值是36．如图4所示的两种方式是其解．检验两者是否自1p至36p都可以得到．

　
　　在研究此问题时可以考虑相加的和(如12＝4＋6＋2)，或是在撕去邮票后留下的面值(如28＝36－8，故28＝1＋2＋15＋4＋6)．

　
　　有一种着手解决这种问题的方法是从较小联的邮票开始．对2×2联的邮票而言，撕去一张邮票或一组相连邮票的方式共有13种，如图5所示的两种解答可以得到邮费为1p至13p的邮票．
　　对5张邮票的情况，撕去邮票的方式共有21种，但所得的邮费只有1p至20p．

　　25．设计直尺


　
　　5道切口得出的10种间隔为：

　
　　以此种计数方式可以很清楚地看出其通式．n次锯切可得：
　　1＋2＋3＋4＋…＋(n－1)种间隔
　　

　　当5次锯切的位置如上图所示时，即ab＝1cm，bc＝3cm，cd＝3cm，de＝2cm，则ac＝4cm，ce＝5cm，bd＝6cm，ad＝7cm，be＝8cm，ae＝9cm．如果没有遗漏掉任何长度，那么这就是最佳的锯切方式．
　　如果我们并不要求得到连续的长度，那么也可能得出10种不同长度的间隔．例如，如果ab＝1，bc＝6，cd＝3，de＝2，则即可得出下列的10种间隔：
　　1，2，3，5，6，7，9，10，11，12
　　但是在试着得出有连续长度的间隔时，要看出是否具有一般性的通式并不容易．如果做n次锯切，且N为连续长度的间隔数，则以1cm起始，所得出的最佳解如下．