动手学数学讨论与解答（16—20）

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　　16．拼缀图案
　　这个活动是研究镶嵌与平面图案的极佳范例，包含了对称、面积、角度、转换的概念，以及设计单元的概念．通过这个活动还可以练习几何绘图，培养创造力．

　　17．趣谈减法

　　这个活动的构思来自一位老师，他说：“这使我的孩子快乐地做了好几个小时的减法．当数字愈来愈大时，验算会是一场恶梦，不过我用电脑程序来做．”
　　所以，你的下一个作业就是写一个程序！
　　由于数字差形成的方式，使得数字愈来愈小，因此序列以有限个步骤到达终点．若起始时最大数字与最小数字的位置相对，应在5个步骤之内到达终点，但若是位置不同，则能以相当小的数字形成更长的序列．要注意的是，0通常可被取为最小的数字，因为由任何起点开始，例如从(8，17，3，9)开始所形成的差，与减去最小数字之后，即以(5，14，0，6)作为起点所形成的数字差是相同的．
　　下列的解是一位中学女生得出的．

　　对此问题作代数分析相当困难，因为每一阶段的计算都是|x－y|而非(x－y)．
　　将这个活动与以三角形起始的类似活动比较是相当有趣的事，两者的结果有何差异？其他多边形的情况又是如何？

　　18．猜数字

　　上完课下课前可以玩这个游戏以利用剩余的时间，这对培养逻辑推理能力相当有帮助．推广至三位数也可以，但可能要猜许多次，而使大部分的学生失去兴趣．

　　19．追踪单词

　　所隐藏的单词为DISCOVERY．总共有784个可能的“单词”．

　
　　本题的目的是要找出计算所有可能“单词”的系统化方法．为了避免遗漏任何单词或是把某些单词算了两次，需要有一套策略与标记方法．
　　作者以如图1所示的方法将方格标上号码，然后在将号码记录成九位数之前，在纸上画出不同的路径．运用镜像对称与旋转对称的原理，就可以很清楚地看出，所有的基本路径都可以重复8次．图2所示就是本题的解125349876经旋转与反射后的路径．所以只需要找到98个基本解，而这些解又可分为3种基本类型．

　
　　(1)以1开始的路径，并在第一次离开主对角线后即在主对角线的上方移动．
　　共有69种路径，部分路径见图3，以显示其复杂的变化．

　
　　所有路径以下列九位数表示列出．

　
　　(2)以2开始的路径，并在第一次离开对称垂直线后移动至右方．共有25种路径，部分路径如图4所示．

　
　　(3)以5开始的路径，移向1或2，然后移至右方．只有4种路径，如下所示：
512349876 512349867 512678943 523498761
　　这道谜题是由谢菲尔德综合技术学院(Sheffield Polytechnic)的波蒂斯(Hugh Porteous)首先介绍给作者的，他还提供了可以计算出解答的电脑程序．

　　20．质数鸿沟

　　本题是要研究质数的分布．可使用质数表，或是利用电脑程序．下列5组数之间没有质数：1129与1151，1327与1361，1637与1657，1669与1693，1951与1973．
　　很容易就可以证明任何长度的非质数序列都可能存在．假设要证明长度为100的非质数序列存在，可考虑下列序列：
　　101！＋2，101！＋3，101！＋4，…，101！＋100，101！＋
　　因为形式为101！＋n的数，n为其因数，n＝2，3，4，…101，故在所给的100个连续数的已知序列中每个数都不是质数．很显然，此法可加以推广．