动手学数学之三十五（盒子游戏）

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　　盒子游戏是许多英国儿童爱玩的游戏．首先在纸上标记出一个长方形点阵，然后两个人轮流将相邻的两点用直线连起来，使之形成正方形(盒子)的一条边(图1)．

　
　　当参赛者看到正方形的3条边已被画出，而且这时轮到他画，他便可完成此正方形，并在里面做个记号．当一位参赛者完成一个正方形时，则再从他开始继续游戏．当所有的正方形都被画出时，拥有正方形最多的人获胜．
　　此游戏非常容易，大部分小孩可以不加思索地玩，但其实还是需要一些分析的．要规划全局的策略并不容易，但我们可以研究可能会出现的一些特定图形，因其可能影响到全局．
　　如图2，先在这类2×2正方形内画一条线者，将会把里面的4个正方形全部输给对手．又如图3，宽为一个正方形边长的通道，不管其形状如何，先在里面画上一条线的人就等于将整个通道内的所有正方形奉送给对手．

　
　　图4所示的3×2长方形相当有趣，如果这是比赛的最后一个区域，而且又轮到你画，假如你由长方形边上的点画向图中的一点，则你的对手会先得到2个正方形，而剩下的4个正方形就是你的了．但如果你画的是连接图中两孤立点的直线，则你的对手将被迫输给你所有6个正方形．

　
　　在玩盒子游戏时，我们可以先从小规模而且边界已经画好的图形学到很多分析技巧．因为规模小，所以可能的结果相当有限，例如图5的4×2长方形．

　
　　(1)假设A先玩．A由左手边的中间画一条横线，则B可立刻画出两个正方形，然后B再在中间画一条横线．如此一来，不管A把线画在哪里，B都能稳操胜券，夺得所有的正方形(图6)．
　　(2)假设A先画连接两个孤立点的一条横线，则如果B够聪明的话，他将连接中央的另一条线，使得A不论怎么画，所有的8个正方形都将落入B的手中(图7)．
　　(3)A所能采用的最佳策略是在长方形中分出正方形．所以A必须由长方形的长边中间画出一条线，接下来不管B怎么画，所得的结果都是A与B各得4个正方形(图8)．
　　当分析了对应较小形状的策略后，在玩较大规模的点阵时，我们可以先巧妙地分割出各种图形，因为我们已经确实地了解致胜的方法了．