动手学数学之四（分割问题）

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　　许多谜题书籍中都会有一些谜题是要将一种形状分割成至少几部分，再重新组合出其他形状．典型的谜题是将希腊十字形分成4部分而重新组合成1个正方形，如图1所示．如果十字形是由5个单位正方形所组成，则十字形变形之后得到的正方形也应具有相当于5个平方单位的面积．

　
　　此谜题的两种答案如图2与图3所示，但到底是如何完成的呢？
　　运用镶嵌图案的方法可以得到一种答案，如图4所示．将希腊十字形排列成镶嵌图案，然后连接相邻十字形的中心，可形成面积为5平方单位的正方形镶嵌图案．
　　这样即可清楚地看出如何由十字形分割出组成斜线部分正方形的4个部分．斜线部分正方形的边长为单位，也就是2×1长方形的对角线长，利用勾股定理很容易求出这个值，如图5所示．
　


　　

那么就可以在十字形的镶嵌图案上移动位置，即可得到如图3所示的另一种答案．
　　画出一个十字形的镶嵌图案(最好是用方格纸)，然后将对应于图3的正方形镶嵌图案置于其上．
　　运用镶嵌图案的方法，将图6所示的3种形状分割成能够重新组合成正方形的部分．
　　另一种分割谜题是以图6中的H形为基础，要将之分割成4个相同的部分而能重组成两个H形．
　
　　如果一个长方形能用一条直线分割为两个部分，同时这两个部分能组成一个正方形，那么这究竟是个怎样的长方形呢？
　　已知一长方形边长为16cm与9cm，试证明可将此长方形分成能够组合在一起形成正方形的两个部分(图7)．

　
　　到目前为止的分割问题都是与转换成正方形的形状有关，但由著名的美国谜题家罗以德(Sam Loyd)所提出的一个分割问题即是从正方形开始，以图8所示的一个分割正方形开始，要求设法将5个部分重新组合为：
　　(1)一个长方形；
　　(2)一个直角三角形；
　　(3)一个平行四边形；
　　(4)一个希腊十字形．
　　在画这个分割图形时，请特别注意正方形内的每一条直线，如果将它们延长，都会通过顶点与正方形一边的中点．