最值问题解法举例

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在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称之为“最大最小问题”。“最大”、“最小”是同学们所熟悉的两个概念，多年来各级数学竞赛中屡次出现求最值问题，但一些学生感到束手无策。[B]
一、枚举法
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[B]例[/B][B]1 [/B]一把钥匙只能开一把锁，现在有4把钥匙4把锁。但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次就能配好全部的钥匙和锁？
　　（北京市第三届“迎春杯”数学竞赛试题）
[B]分析与解[/B][B] [/B]开第一把锁，按最坏情况考虑试了3把还未成功，则第4把不用试了，它一定能打开这把锁，因此需要3次。同样的道理开第二把锁最多试2次，开第三把锁最多试1次，最后一把锁则不用再试了。这样最多要试的次数为：3＋2＋1=6（次）。
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二、综合法
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[B]例[/B][B]2 [/B]x3=84A（x、A均为自然数）。A的最小值是______。（1997年南通市数学通讯赛试题）
[B]分析与解[/B][B] [/B]根据题意，84A开立方的结果应为自然数，于是我们可以把84分解质因数，得84=2×2×3×7，因此x3=2×2×3×7×A，其中A的质因数至少含有一个2、两个3、两个7，才能满足上述要求。
　　即A的最小值为（2×3×3×7×7=）882。
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三、分析法
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[B]例[/B][B]3 [/B]一个三位数除以43，商是a，余数是b，（a、b均为自然数），a＋b的最大值是多少？
　　（广州市五年级数学竞赛试题）
[B]分析与解[/B][B] [/B]若要求a＋b的最大值，我们只要保证在符合题意之下，a、b尽可能大。由乘除法关系得
　　43a＋b=一个三位数
　　因为b是余数，它必须比除数小，即b＜43b的最大值可取42。
　　根据上面式子，考虑到a不能超过23。（因为24×43＞1000，并不是一个三位数）
　　当a=23时，43×23＋10=999，此时b最大值为10。
　　当a=22时，43×22＋42=988，此时b最大值为42。
　　显然，当a=22，b=42时，a＋b的值最大，最值为22+42=64。
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四、公式法
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[B]例[/B][B]4 [/B]两个自然数的和为18，那么，这两个自然数的积的最大值为多少？（广州市小学数学竞赛试题）
[B]分析与解[/B][B] [/B]设两个正数分别为a、b，它们有以下几种关系，a＋b≥

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值，运用此公式，本题迎刃而解。
　　

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　　即这两个自然数的积的最大值为81。
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五、图表法
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[B]例[/B][B]5 [/B]某公共汽车从起点站开往终点站，中途共有9个停车站。如果这辆公共汽车从起点站开出，除终点站外，每一站上车的乘客中从这一站到以后的每一站正好各有一位乘客上下车。为了使每位乘客都有座位。那么这辆汽车至少应有座位多少个？
　　（北京市“迎春杯”数学竞赛试题）
[B]分析与解[/B]根据题意，每站下车的乘客数最少要等于该站后面的车站数，列表如下：

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　　从表中可以看出，车上乘客最多时，是在第五站乘客上下车后的人数，此时人数为
　　（10＋9＋8＋7＋6）-（1＋2＋3＋4）=30（人）
　　所以这辆汽车至少应有座位30个。
　　最大最小问题，涉及面广，判断最值的方法较多，上面所列举的仅是几种常见的解题方法。