数列推理的妙用

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我们经常遇到这样一类问题，即给一列数，要求根据数与数之间的关系，通过分析推理，得出其排列规律，从而推出要填的数。例如：
　　在下列各列数中，□内应填什么数？
　　（1）3，11，19，□；
　　（2）7.9，6.6，5.3，□；
　　（3）□，25，42，59。
　　这几列数的排列规律是不难发现的：在第（1）列数中，后一个数比前一个数多8，□内应填27；在第（2）列数中，后一个数比前一个数少1.3，□内应填4；在第（3）列数中，前一个数比后一个数少17，□内应填8。
　　巧妙地运用这种简单的推理方法，我们可以解决一类“消去问题”。今举数列说明如下。
[B]　　例1 [/B]学校计划购买篮球和排球。如果购买6只篮球和5只排球要花263元；如果购买4只篮球和7只排球，则要花245元。问一只篮球和一只排球各值多少元？
[B]　　解 [/B]把已知条件写成下面两列：
　　篮球6 4
　　排球5 7
　　价值 263 245
　　首先我们横着看，把它们看成三列数，第一列由6到4，减少2，因此推出第三项的数为2，第四项的数为0，即6→4→2→0；同理，第二列数为5→7→9→11，第三列数为263→245→227→209。上面推理过程可以表述为：
　　

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　　现在我们竖着看，第四列（推出的）数表示0只篮球与11只排球价值为209元，即1只排球为（209÷11=）19（元）。再根据第一个条件，可算得1只篮球为（263-19×5）÷6=）28（元）。
[B]　　例2 [/B]甲、乙两人加工零件，甲做11时，乙做9时，共加工零件213个；甲做9时，乙做6时，共加工零件162个。问甲、乙两人每时各加工几个零件？
[B]　　解 [/B]把已知条件写成竖列，按横列推理：
　　

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　　竖着看：第四列（即推出的最后一列）表示甲5时做60个零件，则每时做（60÷5=）12（个）零件，从而知道乙每时做的零件个数为：（213-12×11）÷9=9（个）
　　这种解题方法，把已知条件看成数列，而且往递减方向（至少有一列递减）推理，直到有一列的某项为零，就很容易得到结果。上面的两个例子，都是从左往右推理的，如果这样做得不到某列的某项为零时，就可考虑从右往左推理。
[B]　　例3 [/B]某商店出售水果，3千克苹果和5千克雪梨共值22.50元，4千克苹果和2千克雪梨共值16.00元。试问苹果和雪梨每千克价格各是多少元？
[B]　　解 [/B]把已知条件写成两列：
　　苹果3 4
　　雪梨5 2
　　价值 22.50 16.00
　　横着从左往右推理，第一列为

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　　……推不出零；第二列为

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→……也推不出零。因此，考虑从右往左推理（已知条件为右边的两列）。
　　

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　　这里，左边的第一竖列（推出的）表示14千克雪梨42.00元，则每千克雪梨价格为（42.00÷14=）3.00（元），所以，每千克苹果的价格为：（16.00-3.00×2）÷4=2.50（元）。
　　最后需要说明的是，这种数列推理的方法，虽然巧妙有趣，但并不是万能的。如果已知条件给出的数列，横着从左往右推或从右往左推都得不到某项为零时，就不能用这种方法直接推理得到结果。这时，我们就应该换一换思考角度，用其他方法来处理。