解题后的反思

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数学技能的形成与能力培养离不开解题。有效地培养数学解题的能力，除了做好审题，制订解题方案，解答表达等工作外，解题后的反思也是一个不可缺少的重要环节。美籍匈牙利数学家乔治?波利亚就说过：“数学问题的解决仅仅只是一半，更重要的是解题之后的回顾”。
　　解题本身不是学习的目的，而只是一种训练手段。进行解题后的小结或反思，会有益于我们总结经验，发现规律，形成技能技巧，从而把解题真正变成一种强有力的训练手段。现就解题后的反思，思什么？谈几点建议，供参考。
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一、思疏漏
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　　解题后要思考是否有疏漏和错误的地方，总结应该注意的方面：如答案是否与题中隐含条件相抵触，是否有其他可能情况，是否掉入了命题者所设置的陷阱。以此提高分析能力，纠正解答中错误。
[B]例[/B] 从一个长方形截去一个角，还剩（ ）个角？
[B]错解[/B] 3个角。
[B]反思[/B] 学生缺乏全面的思考，受直觉思维认知干扰，从而得出错误解法。正确的可通过列表如下：

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　　根据图表可以看出，一个长方形截去一个角，可产生三种情况。
[B]例[/B] 如图1是平等四边形（单位：厘米），一条边上的高是5厘米。它的面积是多少？
[B]错解[/B] 6×5=30（平方厘米）
[B]反思[/B] 这一解法是错误的。关键在于未能正确地确定5厘米是平行四边形哪条边上的高。
　　事实上，由“直线外一点到这条直线所画的线段中，以和这条直线垂直的线段最短”，可知5厘米不可能是边长为6厘米的底边上的高而只能是边长为4厘米的底边上的高，如图2。这样，正确的解答就应当是
　　4×5=20（平方厘米）

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[B]小结：[/B]上述例子告诉我们，要做到解题完满，关键是审题要充分，分析要全面，思考要周密，运用知识要熟练、准确、合理、灵活。
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二、思方法
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　　解题后小结一下解题方法，归纳这种解题方法的特点，有利于学生较快地掌握这种方法，培养学生举一反三的能力，提高知识的正迁移水平。
　　

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只脚。于是可求出鸡的只数是：

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[B]小结[/B]：本例是运用假设思维方法解题。当有些应用题直接推理或逆转推理都不能寻找出解题途径时，就可以将题目中两个或两个以上的求知量，假设成相等的数量，或者将一个求知条件假设成已知条件，从而使题目中隐蔽或复杂的数量关系趋于明朗化和简单化，然后按照假设后的条件，依据数量的相依关系，列式计算并做相应的调整，最后算出结果来。这就是运用假设法的特点。
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三、思多解
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　　解题后对于同一问题，若从不同角度去思考、观察、联想，可得不同解题途径，其中必有最佳方法。养成这种习惯，可提高学生的发散思维能力，使解题方法灵活多变。
　　例：在括号里填上适当的数，使等式成立。
　　　　

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[B]分析[/B]（1）利用倒数关系，使乘积都等于1。
　　

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　　（2）利用“0”的特征，使乘积都等于0。
　　

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　　（3）利用递等式的特点，在第一个括号里填6，则
　　

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　　（4）利用假设法，设乘积为2，则
　　

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[B]小结：[/B]从以上解法看，解本题的关键是先确定乘积是几，然后求出各因数分别填上。掌握了这一规律，不仅可以迅速地填数，而且可得无数个解，而抓乘积为“0”和“1”的特征的解法最佳。这样，使学生认识到，掌握多种解法，就会因题而异找到满意的解法。
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四、思问题
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　　解题后，对数学问题由此及彼地联想，其中，有时要对问题追根溯源，多问几个“为什么”？有时是从一个问题联想到与它形式不同但实质完全一样的多种叙述或表达方式，这样，就能培养我们抓住问题实质的本领，培养思维的连动性、流畅性和变通性。　
　　

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6份的数。

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[B]思考[/B][B]2 [/B]表示6除以7的商。

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[B]思考[/B][B]5 [/B]表示1.2∶1.4的简单整数比。
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[B]小结：[/B]解题后如果我们坚持进行“一问多思”，这样我们就能抓住数学问题的本质，学数学就不难了。
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五、思规律
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　　解题后若能再回想一下，把解题过程中零散杂乱的，肤浅的经验、规律及时进行提炼、总结、升华，再予以应用，用以指导解题实践，就能触类旁通，提高解题能力。
　　例如：定值法求阴影部分的面积。
　　如图3，图中的四边形都是正方形（单位：厘米），求阴影部分的面积。

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[B]分析[/B] 如图4，正方形边长为a，则圆面积与正方形的面积比值为：

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　　当π取3.14时，S圆=0.785S正方形=78.5％S正方形，而阴影部分=(1-78.5％)S正方形=21.5％S正方形。
　　利用上述关系，可以巧妙地求出图3各图阴影部分的面积。
[B]小结：[/B]从以上例题可以看出，定值一法多用，一种解法在不同内容或形式的数学题得以延伸和拓广。因此，它有利于沟通知识间的纵横联系，有利于把握解题关键，总结解题规律，提高解题效益。