一题解答误区与矫正

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题目：从1开始到1998止，这1998个整数中，能被3整除，但不能被5和7整除的数的个数为____。
　　该题是一道竞赛题目，据统计参赛学生中无一人能够完整得到解答。从表面看，属于整除问题，但实质上是有一定难度的包含与排除问题。此类题的特征是：有关数量有相互包含、重复计算的部分。在具体解答时，还存在个别数量的排除问题。学生在分析解答该题时，极容易在“包含”、“重复”、“排除”等方面出现混淆，产生误解。现分析如下：
　　一、“包含”辨析不清 简单草率作解
　　有的学生审题不认真，把不存在“包含”关系的数量当作“包含”关系去处理，就盲目草率去解答，导致解答失误。如简单认为只有同时能被5、7整除的数的个数是包含在能被3整除的数中。这样：
　　1998÷3=666（个）
　　

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　　666-57=609（个）
　　二、例举范围狭窄 类推遗漏“重复”
　　有些学生在分析时，突然也注意到“包含”，但在类推时，例举数据取在100以内：
　　1 2 4 5 7 8 10 11 13 14
　　16 17 19 20 22 23 25 26 28 29
　　31 32 34 35 37 38 40 41 43 43
　　这样类推，就只存在能同时被3、5整除，3、7整除的数的“包含”情况，显然把这两种“包含”中100以上数中存在的相互“重复”情况遗漏掉，也产生误答。
　　1998÷3=666（个）
　　

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　　666-（133+95）=438（个）
　　三、“排除”理解欠妥，数据处理不佳
　　有的学生认为在被3整除的数中，除了要排除掉133个被3、5整除，95个被 3、7整除的数外，同时能被 3、5、7整除的数也应排除，1998

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　　此外，相当一部分学生在分析解答时，审题以偏概全，顾此失彼的现象更为普遍，这里不再举例说明。
　　该题完整、正确的解答思路和步骤是：
　　首先考虑在1―1998这些数中，包含能被3整除的数的个数有多少。即从1开始依次每3个数中有一个能被3整除的数，所以这些数共有：1998÷3=666（个）。
　　其次辨析被3整除的所有数中，能被5整除的数是15、30、45，……，

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数是 21、42、63，……，即同时被 3、7整除的数的个数有1998÷21=95

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　　再次辨析被3、5同时整除，3、7同时整除的数中，共同交叉包含有同时被 3、5、7整除的数的“重复”情况存在，这些数共有 1998÷105=

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　　所以，该题的正确结果应为：
　　666-（133+95-19）=457（个）
　　或 666-133-95+19=457（个）。