第四讲 数与形相映

小学教育网

　　形和数的密切关系，在古代就被人们注意到了．古希腊人发现的形数就是非常有趣的例子．
　　例1 最初的数和最简的图相对应．

133738_4c5b68a13d28c01.bmp

　　
　　这是古希腊人的观点，他们说一切几何图形都是由数产生的．
　　例2 我国在春秋战国时代就有了“洛图”（见下图）．图中也是用“圆点”表示数，而且还区分了偶数和奇数，偶数用实心点表示，奇数用空心点表示．你能把这张图用自然数写出来吗？见下图所示，这个图又叫九宫图．

133753_4c5b68a13e61401.bmp

　　例3 古希腊数学家毕达哥拉斯发现了“形数”的奥秘．比如他把1，3，6，10，15，…叫做三角形数．因为用圆点按这些数可以堆垒成三角形，见下图．

133808_4c5b68a13f99c01.bmp

　　毕达哥拉斯还从圆点的堆垒规律，发现每一个三角形数，都可以写成从1开始的n个自然数之和，最大的自然数就是三角形底边圆点的个数．
　　第一个数：1=1
　　第二个数：3=1+2
　　第三个数：6=1+2+3
　　第四个数：10=1+2+3+4
　　第五个数：15=1+2+3+4+5
　　…
　　第n个数：1+2+3+4+5+…+n

133914_4c5b68a1418dc01.bmp

指定的三角形数．比如第100个三角形数是：

133923_4c5b68a14287c01.bmp

　　例4 毕达哥拉斯还发现了四角形数，见下图．因为用圆点按四角形数可以堆垒成正方形，因此它们最受
毕达哥拉斯及其弟子推崇．

133934_4c5b68a14fb6d01.bmp

　　第一个数：1=12=1
　　第二个数：4=22=1+3
　　第三个数：9=32=1+3+5
　　第四个数：16=42=1+3+5+7
　　第五个数：25=52=1+3+5+7+9
　　…
　　第n个数：n2=1+3+5+9+…+（2n-1）．
　　四角形数（又叫正方形数）可以表示成自然数的平方，也可以表示成从1开始的几个连续奇数之和．奇数的个数就等于正方形的一条边上的点数．
　　例5 类似地，还有四面体数见下图．

133951_4c5b68a1512dc01.bmp

　　仔细观察可发现，四面体的每一层的圆点个数都是三角形数．因此四面体数可由几个三角形数相加得到：
　　第一个数：1
　　第二个数：4=1+3
　　第三个数：10=1+3+6
　　第四个数：20=1+3+6+10
　　第五个数：35=1+3+6+10+15．
　　例6 五面体数，见下图．

134010_4c5b68a152a4c01.bmp

　　仔细观察可以发现，五面体的每一层的圆点个数都是四角形数，因此五面体数可由几个四角形数相加得到：
　　第一个数：1=1
　　第二个数：5=1+4
　　第三个数：14=1+4+9
　　第四个数：30=1+4+9+16
　　第五个数：55=1+4+9+16+25．
　　例7 按不同的方法对图中的点进行数数与计数，可以得出一系列等式，进而可猜想到一个重要的公式．
由此可以使人体会到数与形之间的耐人导味的微妙关系．

134019_4c5b68a15360501.bmp

　　方法1：先算空心点，再算实心点：
　　22+2×2+1．
　　方法2：把点图看作一个整体来算32．
　　因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：
　　22+2×2+1=32．

134029_4c5b68a15554401.bmp

　　方法1：先算空心点，再算实心点：
　　32+2×3+1．
　　方法2：把点图看成一个整体来算：42．
　　因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：
　　32+2×3+1=42．

134331_4c5b68a16b4d401.bmp

　　方法1：先算空心点，再算实心点：
　　42+2×4+1．
　　方法2：把点图看成一个整体来算52．
　　因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：
　　42+2×4+1=52．
　　把上面的几个等式连起来看，进一步联想下去，可以猜到一个一般的公式：
　　22+2×2+1=32
　　32+2×3+1=42
　　42+2×4+1=52
　　…
　　n2+2×n+1=（n+1）2．
　　利用这个公式，也可用于速算与巧算．
　　如：92+2×9+1=（9+1）2=102=100
　　992+2×99+1=（99+1）2
　　=1002=10000．