第三讲 速算与巧算

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　　利用上一讲得到的乘法运算定律和等差数列求和公式，可以使计算变得巧妙而迅速．
　　例1 2×4×5×25×54
　　=（2×5）×（4×25）×54 （利用了交换
　　=10×100×54 律和结合律）
　　=54000
　　例2 54×125×16×8×625
　　=54×（125×8）×（625×16） （利用了
　　=54×1000×10000 交换律和结合律）
　　=540000000
　　例3 5×64×25×125 将64分解为2、4、8
　　=5×（2×4×8）×25×125 的连乘积是关键一
　　=（5×2）×（4×25）×（8×125） 步．
　　=10×100×1000
　　=1000000

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　　例5 37×48×625
　　=37×（3×16）×625 注意37×3=111
　　=（37×3）×（16×625）
　　=111×10000
　　=1110000
　　例6 27×25+13×25 逆用乘法分配律，
　　=（27+13）×25 这样做叫提公因数
　　=40×25
　　=1000
　　例7 123×23+123+123×76 注意123=123×1；再
　　=123×23+123×1+123×76 提公因数123
　　=123×（23×1+76）
　　=123×100
　　=12300
　　例8 81+991×9 把81改写（叫分解因
　　=9×9+991×9 数）为9×9是为了下
　　=（9+991）×9 一步提出公因数9
　　=1000×9
　　=9000
　　例9 111×99
　　=111×（100-1）
　　=111×100-111
　　=11100-111
　　=10989
　　例10 23×57-48×23+23
　　=23×（57-48+1）
　　=23×10
　　=230
　　例11 求1+2+3+…+24+25的和．
　　解：此题是求自然数列前25项的和．
　　方法1：利用上一讲得出的公式
　　和=（首项+末项）×项数÷2
　　1+2+3+…+24+25
　　=（1+25）×25÷2
　　=26×25÷2
　　=325
　　方法2：把两个和式头尾相加（注意此法多么巧妙！）

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　　想一想，这种头尾相加的巧妙求和方法和前面的“拼补法”有联系吗？
　　例12 求8+16+24+32+…+792+800的和．
　　解：可先提公因数
　　8+16+24+32+…+792+800
　　=8×（1+2+3+4+…+99+100）
　　=8×（1+100）×100÷2
　　=8×5050
　　=40400
　　例13 某剧院有25排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，问这个剧院一共有多少个座位？
　　解：由题意可知，若把剧院座位数按第1排、第2排、第3排、…、第25排的顺序写出来，必是一个等差数列．
　　那么第1排有多少个座位呢？因为：
　　第2排比第1排多2个座位，2=2×1
　　第3排就比第1排多4个座位，4=2×2
　　第4排就比第1排多6个座位，6=2×3
            

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　　这样，第25排就比第1排多48个座位，
　　48=2×24．
　　所以第1排的座位数是：70-48=22．
　　再按等差数列求和公式计算剧院的总座位数：
　　和=（22+70）×25÷2
　　=92×25÷2
　　=1150．