计数问题之加法原理：加法原理练习题含答案

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　1、两次掷一枚骰子，两次出现的数字之和为偶数的情况有多少种？
        　　分析与解：两次的数字之和是偶数可以分为两类，即两数都是奇数，或者两数都是偶数。
        　　因为骰子上有三个奇数，所以两数都是奇数的有3×3=9（种）情况；同理，两数都是偶数的也有9种情况。根据加法原理，两次出现的数字之和为偶数的情况有9＋9＝18（种）。
        　　2、用五种颜色给右图的五个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。问：共有多少种不同的染色方法？
       

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        　　分析与解：本题与上一讲的例4表面上十分相似，但解法上却不相同。因为上一讲例4中，区域A与其它区域都相邻，所以区域A与其它区域的颜色都不相同。本例中没有一个区域与其它所有区域都相邻，如果从区域A开始讨论，那么就要分区域A与区域E的颜色相同与不同两种情况。
        　　当区域A与区域E颜色相同时，A有5种颜色可选；B有4种颜色可选；C有3种颜色可选；D也有3种颜色可选。根据乘法原理，此时不同的染色方法有
        　　5×4×3×3＝180（种）。
        　　当区域A与区域E颜色不同时，A有5种颜色可选；E有4种颜色可选；B有3种颜色可选；C有2种颜色可选；D有2种颜色可选。根据乘法原理，此时不同的染色方法有
        　　5×4×3×2×2＝240（种）。
        　　再根据加法原理，不同的染色方法共有
        　　180＋240=420（种）。
        　3、用1，2，3，4这四种数码组成五位数，数字可以重复，至少有连续三位是1的五位数有多少个？
        　　分析与解：将至少有连续三位数是1的五位数分成三类：连续五位是1、恰有连续四位是1、恰有连续三位是1。连续五位是1，只有11111一种；
        　　

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中任一个，所以有3＋3＝6（种）；　　
       

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        3×4＋4×3＋3×3＝33（种）。
        　　由加法原理，这样的五位数共有
        　　1＋6＋33＝40（种）。
        　　在此题中，我们先将这种五位数分为三类，以后在某些类中又分了若干种情况，其中使用的都是加法原理。
        　　4、下图中每个小方格的边长都是1。一只小虫从直线AB上的O点出发，沿着横线与竖线爬行，可上可下，可左可右，但最后仍要回到AB上（不一定回到O点）。如果小虫爬行的总长是3，那么小虫有多少条不同的爬行路线？
       

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        　　分析与解：如果小虫爬行的总长是2，那么小虫从AB上出发，回到AB上，其不同路线有6条（见左下图）；小虫从与AB相邻的直线上出发，回到AB上，其不同路线有4条（见下图）。
       

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        　　实际上，小虫爬行的总长是3。小虫爬行的第一步有四种情况：
        　　向左，此时小虫还在AB上，由上面的分析，后两步有6条路线；
        　　同理，向右也有6条路线；
        　　向上，此时小虫在与AB相邻的直线上，由上面的分析，后两步有4条路线；
        　　同理，向下也有4条路线。
        　　根据加法原理，共有不同的爬行路线
        　　6＋6＋4＋4＝20（条）
        　　1、小明要登上10级台阶，他每一步只能登1级或2级台阶，他登上10级台阶共有多少种不同的登法？
        　　分析与解：登上第1级台阶只有1种登法。登上第2级台阶可由第1级台阶上去，或者从平地跨2级上去，故有2种登法。登上第3级台阶可从第1级台阶跨2级上去，或者从第2级台阶上去，所以登上第3级台阶的方法数是登上第1级台阶的方法数与登上第2级台阶的方法数之和，共有1+2＝3（种）……一般地，登上第n级台阶，或者从第（n—1）级台阶跨一级上去，或者从第（n—2）级台阶跨两级上去。根据加法原理，如果登上第（n—1）级和第（n—2）级分别有a种和b种方法，则登上第n级有（a＋b）种方法。因此只要知道登上第1级和第2级台阶各有几种方法，就可以依次推算出登上以后各级的方法数。由登上第1级有1种方法，登上第2级有2种方法，可得出下面一串数：
        　　1，2，3，5，8，13，21，34，55，89。
        　　其中从第三个数起，每个数都是它前面两个数之和。登上第10级台阶的方法数对应这串数的第10个，即89。也可以在图上直接写出计算得出的登上各级台阶的方法数（见下图）。
       

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        5、
        　　在左下图中，从A点沿实线走最短路径到B点，共有多少条不同路线？
       

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        　　分析与解：题目要求从左下向右上走，所以走到任一点，例如右上图中的D点，不是经过左边的E点，就是经过下边的F点。如果到E点有a种走法（此处a＝6），到F点有b种走法（此处b＝4），根据加法原理，到D点就有（a＋b）种走法（此处为6＋4=10）。我们可以从左下角A点开始，按加法原理，依次向上、向右填上到各点的走法数（见上图），最后得到共有35条不同路线。
        　　6、下图是某街区的道路图。从A点沿最短路线到B点，其中经过C点和D点的不同路线共有多少条？
            

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        　　分析与解：本题可以同例2一样从A标到B，也可以将从A到B分为三段，先是从A到C，再从C到D，最后从D到B。如上图所示，从A到C有3种走法，从C到D有4种走法，从D到B有6种走法。因为从A到B是分几步走的，所以应该用乘法原理，不同的路线共有
        　　3×4×6＝72（条）。
        　　7、沿左下图中箭头所指的方向从A到B共有多少种不同的走法？
         

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        　　分析与解：如右上图所示，先标出到C点的走法数，再标出到D点和E点的走法数，然后标出到F点的走法数，最后标出到B点的走法数。共有8种不同的走法。
        　　8、有15根火柴，如果规定每次取2根或3根，那么取完这堆火柴共有多少种不同取法？              
        　　分析与解：为了便于理解，可以将本题转变为“上15级台阶，每次上2级或3级，共有多少种上法？”所以本题的解题方法与例1类似（见下表）。
       

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        　　注意，因为每次取2或3根，所以取1根的方法数是0，取2根和取3根的方法数都是1。取4根的方法数是取1根与取2根的方法数之和，即0＋1＝1。依此类推，取n根火柴的方法数是取（n-3）根与取（n-2）根的方法数之和。所以，这串数（取法数）中，从第4个数起，每个数都是它前面第3个数与前面第2个数之和。取完15根火柴共有28种不同取法。