第十二讲 奇与偶

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　　整数0，1，2，3，4，5，6，7，……可以被分为两类，一类是1，3，5，7，9，…叫奇数；另一类是0，2，4，6，8，10…叫偶数。
　　一般习惯上，人们也把1，3，5，7，9…叫单数；把2，4，6，8，10…叫双数。
　　下面是有关奇数与偶数方面的趣题。
例1 傍晚开电灯，小虎淘气，一连拉了7下开关。请你说说这时灯是亮了还是没亮？我们还不妨接着问，拉8下呢？拉9下呢？拉10下呢？甚至拉100下呢？你都能知道灯是亮还是不亮吗？
解：见下表。为了回答上面这些问题，我们从简单情况考虑起，并作出下表，便可一目了然。

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　　仔细观察，就可以找出规律：
　　拉奇数次，灯亮；拉偶数次，灯不亮。
　　对于大的数，比如说拉100下，可知灯不亮。因为100是个偶数。
例2 前十个自然数即1，2，3，……10的和是奇数还是偶数？
解：方法1：先把十个数加起来，再看和数的奇偶性。
　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55
　　55是奇数，即前十个自然数之和是奇数。
　　方法2：不用把和求出来也可以进行判断：
　　先把前十个自然数的奇偶性写出来

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　　通过考察这些数相加相减的结果，不难理解：
　　两个偶数的和与差，都是偶数；
　　两个奇数的和与差也都是偶数；
　　一个奇数与一个偶数的和与差，都是奇数；进一步还可以得出：
　　只有奇数个奇数的和或差，才是奇数。
　　现在再来数一数，前十个自然数中，一共有五个奇数，所以可以肯定它们的和必是奇数。
例3 ①把10个球分成三组，要求每组球的个数都是奇数，怎样分？
　　②把11个苹果分给三个小朋友，要求每个小朋友分得偶数个苹果，怎样分？
解：①不能分。因为如果三组球，每组都是奇数个球的话，总数必是奇数，而不可能是偶数，而10个球却是个偶数。
　　②不能分。因为如果每个小朋友都得到偶数个苹果，那么三个小朋友得到的苹果总数也必定是个偶数。而11个苹果是个奇数，所以无法分。
例4 小华买了一支铅笔、2块橡皮、2个练习本，付了1元钱，售货员找给他5分钱。小华看了看1支铅笔的价钱是8分，就说：“叔叔，您把账算错啦。”想一想，小华为什么这么快就知道账算错了？
解：利用数的奇偶性判断，不用计算就可知道这笔账算错了。因为1支铅笔的价钱8分是个偶数，另外，不论橡皮和练习本的价钱是多少，2块橡皮，以及2个练习本的钱也都是偶数，所以小华应付的总钱数应当是个偶数，他付了1元即100分，售货员找回的钱数也应是个偶数。但售货员叔叔实际找给他的5分是个奇数，所以小华说售货员把这笔账算错了，可见小华并不需要计算，只是根据奇偶性进行判断，就知道这笔账算错了。
例5 如下页图所示。在10米长的一段马路的一侧种树，每隔1米种一棵，两头都种，共种了11棵。如果把三块“爱护树木”的小牌任意挂在三棵树上，然后再把每两棵挂牌的树之间的距离是多少米都算出来，看一看这三个距离数（即多少米），至少有一个数是偶数，对吗？然后把三块小牌再挂在不同的三棵树上，再算算看。

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解：这三个距离数（即多少米）中，至少有一个数是偶数这话是对的。比如像上图那样挂牌。
　　A树和B树之间的距离AB=3（米）（奇数）
　　B树和C树之间的距离BC=5（米）（奇数）
　　A树和C树之间的距离AC=3+5=8（米）（偶数）
　　这是为什么呢？可以这样想：
　　假设距离AB和距离BC之中有一个为偶数，则自不待言；若AB和BC这两个距离都是奇数，则AB和BC之和必是偶数，因为两个奇数之和是偶数。所以说这三个距离中至少有一个是偶数。