第十讲 自然数串趣题

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　　从1开始，1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12……连起来成一串，像一串糖葫芦，我们把这样的一串数叫作自然数串（也叫自然数列），其中的每一个数都叫作自然数。自然数串的特点是：
　　①从1开始，1是头；
　　②在相邻的两个数中，后一个数比前一个数大1；
　　③后面的数要多大有多大，也就是说，自然数串是有头无尾的。
　　在自然数串中，如果写到某一个数为止，就叫做有限自然数串，也简称自然数串。
　　这一讲的题目，都是与（有限）自然数串有关的。
例1 如下页图所示。一份学习材料放在桌上，一阵风把材料吹落了一地。小军拣起来一看，糟糕，少了两张。根据下面拣到的材料的页码，你能说出少了哪几页吗？

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解：一张材料的正反两面用两个自然数作页码，这两个自然数是相邻的。仔细观察找到的材料的页码，根据自然数串的特点，可知少了的两张纸的页码是（7、8）和（13、14）。
例2 从1连续地写到100，“0”出现了多少次？
解：“0”出现了11次。因为从1到100含有“0”的自然数是：10、20、30、40、50、60、70、80、90、100。
　　数一数，这些自然数中共有11个“0”。
例3 把1，2，3，4，5，……28，29，30这三十个数，从左往右依次排列起来，成为一个数，你知道这个数共有多少个数字吗？
解：把这个数写出一部分来看看：
　　123456789101112131415……282930
　　下面，分段计算这个数共包含有多少个数字：
　　1至9共有9个数字；
　　10至19共有10个自然数，每个都由两个数字组成，这一段共有2×10=20个数字。20至29这一段也有10个自然数，共有20个数字。30这个数由两个数字组成。所以这个数所包含的数字总数是：
　　9+20+20+2=51（个）。
例4 小青每年都和家长一起参加植树节劳动。七岁那年，他种了第一棵树，以后每年都比前一年多种一棵。现在他已经长到15岁了，连续地种了九年树。请你算一算，这九年中小青一共种了多少棵树？
解：先把小青每年种几棵树写出来

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　　再把每年种树的棵树加起来
　　1+2+3+4+5+6+7+8+9=45（棵）。
例5 如下图所示。商店的货架上堆放着一堆火腿肠。你能很快地算出它的总数有多少根吗？

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解：从上向下数，每层的火腿肠的根数组成一个自然数串，1，2，3，4，5，6，7，8，9
　　方法1：利用凑十法求和

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　　方法2：用两串数“头尾相加”法求和

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　　和=90÷2=45
　　这种自然数串的求和方法很巧妙，很重要，希望同学们能学会它。

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例6 把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16填入正方形的方格中，使每一横行竖行、斜行的四个数相加得数都是34。

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解：（1）把这16个数依次排成如下四行

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　　（2）把带箭头的线的两端的数互换

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　　（3） 互换后，把16个数填到正方形的空格里你会发现每一横行、竖行、斜行的四个数相加的和都等于34。

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　　如果你仔细观察的话，还可以发现这个图中的奇妙的性质：不但每一横行、每一竖行和每一斜行的四个数相加之和都等于34，而且
　　①四个角上的四个小正方形里的四个数之和都是34；
　　②中间的一个小正方形里的四个数之和也是34；
　　③大正方形四个角上的四个数相加之和也是34。真是不可思议！人们给它起了个有趣的名字——幻方。见图。

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例7 如果全体自然数如下表排列，请问

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　　① 数20在哪个字母下面？
　　② 数27在哪个字母下面？
　　③ 数70在哪个字母下面？
　　④ 数71在哪个字母下面？
解：仔细观察可以发现排列的规律：开头的七个数1，2，3，4，5，6，7分别排在A，B，C，D，E，F，G的下面以后每加七个数就又从头排起，如1+7=8，1+7+7=15，则8和15都和1那样，排在字母A的下面利用这个规律，就能求出哪个数在哪个字母下面。
　　①20=6+7+7，
　　可见20和6排在同一个字母下，即在字母F下面；
　　②27=20+7=6+7+7+7，
　　可见27也是排在字母F的下面；

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　　可见70排在字母G下面；
　　④71=1+70，
　　可见71和1都排在字母A的下面。