二次相遇、追击问题专项训练例题解析

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一道简单的二次相遇问题（附详细答案）
        　　甲、乙两车同时从A、B两站相对开出，第一次相遇离A站有90千米，然后各自按原速继续行驶，分别到达对方出发站后立即沿原路返回。第二次相遇时离A站的距离占AB两站全长的65%。求AB两站的距离。
        　　答案：
        　　两车第一次相遇时，共行了1个全程，其中甲车行了90千米
        　　两车第二次相遇时，共行了3个全程，其中甲车行了1个全程加上全程的1-65%=35%，为1+35%=1.35个全程
        　　两车共行3个全程，甲车应该行90×3=270千米
        　　所以AB距离270/1.35=200千米。
        二次相遇问题的解题思路（附例题及答案）
        　　知识要点提示：甲从A地出发，乙从B地出发相向而行，两人在C地相遇，相遇后甲继续走到B地后返回，乙继续走到A地后返回，第二次在D地相遇。一般知道AC和AD的距离，主要抓住第二次相遇时走的路程是第一次相遇时走的路程的两倍。
        　　例题：
        　　1.甲乙两车同时从A、B两地相向而行，在距B地54千米处相遇，它们各自到达对方车站后立即返回，在距A地42千米处相遇。请问A、B两地相距多少千米？
        　　A.120
        　　B.100
        　　C.90
        　　D.80
        　　【答案】A。解析：设两地相距x千米，由题可知，第一次相遇两车共走了x，第二次相遇两车共走了2x，由于速度不变，所以，第一次相遇到第二次相遇走的路程分别为第一次相遇的二倍，即54×2=x-54+42，得出x=120。
        　　2.两汽车同时从A、B两地相向而行，在离A城52千米处相遇，到达对方城市后立即以原速沿原路返回，在离A城44千米处相遇。两城市相距（    ）千米
        　　A.200
        　　B.150
        　　C.120
        　　D.100
        　　【答案】D。解析：第一次相遇时两车共走一个全程，第二次相遇时两车共走了两个全程，从A城出发的汽车在第二次相遇时走了52×2=104千米，从B城出发的汽车走了52+44=94千米，故两城间距离为（104+96）÷2=100千米。
        　　绕圈问题：
        　　3.在一个圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发反向而行，8分钟后两人相遇，再过6分钟甲到B点，又过10分钟两人再次相遇，则甲环行一周需要（    ）？
        　　A．24分钟
        　　B．26分钟
        　　C．28分钟
        　　D．30分钟
        　　【答案】C。解析：甲、乙两人从第一次相遇到第二次相遇，用了6+10=16分钟。也就是说，两人16分钟走一圈。从出发到两人第一次相遇用了8分钟，所以两人共走半圈，即从A到B是半圈，甲从A到B用了8+6=14分钟，故甲环行一周需要14×2=28分钟。也是一个倍数关系。
         
        追及问题的解题思路（附例题及答案）
        　　知识要点提示：有甲，乙同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走的慢的走在前，走得快的过一段时间就能追上。这就产生了“追及问题”。实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人都的速度差。如果假设甲走得快，乙走得慢，在相同时间（追及时间）内：
        　　追及路程=甲走的路程-乙走的路程
        　　=甲的速度×追及时间-乙的速度×追及时间
        　　=速度差×追及时间
        　　核心就是“速度差”的问题。
        　　1.一列快车长170米，每秒行23米，一列慢车长130米，每秒行18米。快车从后面追上慢车到超过慢车，共需（    ）秒钟
        　　A.60
        　　B.75
        　　C.50
        　　D.55
        　　【答案】A。解析：设需要x秒快车超过慢车，则（23-18）x=170+130，得出x=60秒。这里速度差比较明显。
        　　当然很多问题的都不可能有这么简单，“速度差”隐藏起来了
        　　2.甲、乙两地相距100千米，一辆汽车和一台拖拉机都从甲开往乙地，汽车出发时，拖拉机已开出15千米；当汽车到达乙地时，拖拉机距乙地还有10千米。那么汽车是在距乙地多少千米处追上拖拉机的？
        　　A.60千米
        　　B.50千米
        　　C.40千米
        　　D.30千米
        　　【答案】C。解析：汽车和拖拉机的速度比为100：（100－15－10）=4：3，设追上时经过了t小时，那么汽车速度为4x，拖拉机速度则为3x，则3xt+15=4xt，即（4x-3x）t=15得出xt=15，既汽车是经过4xt=60千米追上拖拉机，这时汽车距乙地100-60=40千米。这里速度差就被隐藏了。
        　　3.环形跑道周长是500米，甲、乙两人按顺时针沿环形跑道同时、同地起跑，甲每分钟跑50米，乙每分钟跑40米，甲、乙两人每跑200米均要停下来休息1分钟，那么甲首次追上乙需要多少分钟？
        　　A.60
        　　B.36
        　　C.72
        　　D.103
        　　【答案】C。解析：追上的时间肯定超过50分钟，在经过72分钟后，甲休息了14次并又跑了2分钟，那么甲跑了2900米，乙正好休息了12次 ，知道乙跑了2400米，所以在经过72分钟后甲首次追上乙。
       

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        行程问题之追及例题解析
        　　追及问题
        　　追及问题的地点可以相同（如环形跑道上的追及问题），也可以不同，但方向一般是相同的。由于速度不同，就发生快的追及慢的问题。
        　　根据速度差、距离差和追及时间三者之间的关系，常用下面的公式：
        　　距离差=速度差×追及时间
        　　追及时间=距离差÷速度差
        　　速度差=距离差÷追及时间
        　　速度差=快速-慢速
        　　解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来达到解题目的。
        　　*例1 甲、乙二人在同一条路上前后相距9千米。他们同时向同一个方向前进。甲在前，以每小时5千米的速度步行；乙在后，以每小时10千米的速度骑自行车追赶甲。几小时后乙能追上甲？（适于高年级程度）
        　　解：求乙几小时追上甲，先求乙每小时能追上甲的路程，是：
        　　10-5=5（千米）
        　　再看，相差的路程9千米中含有多少个5千米，即得到乙几小时追上甲。
        　　9÷5=1.8（小时）
        　　综合算式：
        　　9÷（10-5）
        　　=9÷5
        　　=1.8（小时）
        　　答略。
        　　*例2 甲、乙二人在相距6千米的两地，同时同向出发。乙在前，每小时行5千米；甲在后，每小时的速度是乙的1.2倍。甲几小时才能追上乙？（适于高年级程度）
        　　解：甲每小时行：
        　　5×1.2=6（千米）
        　　甲每小时能追上乙：
        　　6-5=1（千米）
        　　相差的路程6千米中，含有多少个1千米，甲就用几小时追上乙。
        　　6÷1=6（小时）
        　　答：甲6小时才能追上乙。
        　　*例3 甲、乙二人围绕一条长400米的环形跑道练习长跑。甲每分钟跑350米，乙每分钟跑250米。二人从起跑线出发，经过多长时间甲能追上乙？（适于高年级程度）
        　　解：此题的运动路线是环形的。求追上的时间是指快者跑一圈后追上慢者，也就是平时所说的“落一圈”，这一圈相当于在直线上的400米，也就是追及的路程。因此，甲追上乙的时间是：
        　　400÷（350-250）
        　　=400÷100
        　　=4（分钟）
        　　答略。
        　　*例4 在解放战争的一次战役中，我军侦察到敌军在我军南面6千米的某地，正以每小时5.5千米的速度向南逃窜，我军立即以每小时8.5千米的速度追击敌人。在追上敌人后，只用半小时就全歼敌军。从开始追击到全歼敌军，共用了多长时间？（适于高年级程度）
        　　解：敌我两军行进的速度差是：
        　　8.5-5.5=3（千米/小时）
        　　我军追上敌军用的时间是：
        　　6÷3=2（小时）
        　　从开始追击到全歼敌军，共用的时间是：
        　　2+0.5=2.5（小时）
        　　综合算式：
        　　60÷（8.5-5.5）+0.5
        　　=6÷3+0.5
        　　=2.5（小时）
        　　答略。
        　　*例5 一排解放军从驻地出发去执行任务，每小时行5千米。离开驻地3千米时，排长命令通讯员骑自行车回驻地取地图。通讯员以每小时10千米的速度回到驻地，取了地图立即返回。通讯员从驻地出发，几小时可以追上队伍？（适于高年级程度）
        　　解：通讯员离开队伍时，队伍已离开驻地3千米。通讯员的速度等于队伍的2倍（10÷5=2），通讯员返回到驻地时，队伍又前进了（3÷2）千米。这样，通讯员需追及的距离是（3+3÷2）千米，而速度差是（10-5）千米/小时。
        　　根据“距离差÷速度差=时间”可以求出追及的时间。
        　　（3+3÷2）÷（10-5）
        　　=4.5÷5
        　　=0.9（小时）
        　　答略。

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        行程问题之相遇问题例题解析
        　　（一）相遇问题
        　　两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展，必然面对面地相遇，这类问题叫做相遇问题。它的特点是两个运动物体共同走完整个路程。
        　　小学数学教材中的行程问题，一般是指相遇问题。
        　　相遇问题根据数量关系可分成三种类型：求路程，求相遇时间，求速度。
        　　它们的基本关系式如下：
        　　总路程=（甲速+乙速）×相遇时间
        　　相遇时间=总路程÷（甲速+乙速）
        　　另一个速度=甲乙速度和-已知的一个速度
        　　1.求路程
        　　（1）求两地间的距离
        　　例1 两辆汽车同时从甲、乙两地相对开出，一辆汽车每小时行56千米，另一辆汽车每小时行63千米，经过4小时后相遇。甲乙两地相距多少千米？（适于五年级程度）
        　　解：两辆汽车从同时相对开出到相遇各行4小时。一辆汽车的速度乘以它行驶的时间，就是它行驶的路程；另一辆汽车的速度乘以它行驶的时间，就是这辆汽车行驶的路程。两车行驶路程之和，就是两地距离。
        　　56×4=224（千米）
        　　63×4=252（千米）
        　　224+252=476（千米）
        　　综合算式：
        　　56×4+63×4
        　　=224+252
        　　=476（千米）
        　　答略。
        　　例2 两列火车同时从相距480千米的两个城市出发，相向而行，甲车每小时行驶40千米，乙车每小时行驶42千米。5小时后，两列火车相距多少千米？（适于五年级程度）
        　　解：此题的答案不能直接求出，先求出两车5小时共行多远后，从两地的距离480千米中，减去两车5小时共行的路程，所得就是两车的距离。
        　　480-（40+42）×5
        　　=480-82×5
        　　=480-410
        　　=70（千米）
        　　答：5小时后两列火车相距70千米。
        　　例4 两列火车从甲、乙两地同时出发对面开来，第一列火车每小时行驶60千米，第二列火车每小时行驶55千米。两车相遇时，第一列火车比第二列火车多行了20千米。求甲、乙两地间的距离。（适于五年级程度）
        　　解：两车相遇时，两车的路程差是20千米。出现路程差的原因是两车行驶的速度不同，第一列火车每小时比第二列火车多行（60-55）千米。由此可求出两车相遇的时间，进而求出甲、乙两地间的距离。
        　　（60+55）×[20÷（60-55）]
        　　=115×[20÷5]
        　　=460（千米）
        　　答略。
        2.求相遇时间
        　　例1 两个城市之间的路程是500千米，一列客车和一列货车同时从两个城市相对开出，客车的平均速度是每小时55千米，货车的平均速度是每小时45千米。两车开了几小时以后相遇？（适于五年级程度）
        　　解：已知两个城市之间的路程是500千米，又知客车和货车的速度，可求出两车的速度之和。用两城之间的路程除以两车的速度之和可以求出两车相遇的时间。
        　　500÷（55+45）
        　　=500÷100
        　　=5（小时）
        　　答略。
        　　例3 在一次战役中，敌我双方原来相距62.75千米。据侦察员报告，敌人已向我处前进了11千米。我军随即出发迎击，每小时前进6.5千米，敌人每小时前进5千米。我军出发几小时后与敌人相遇？（适于五年级程度）
        　　解：此题已给出总距离是62.75千米，由“敌人已向我处前进了11千米”可知实际的总距离减少到（62.75-11）千米。
        　　（62.75-11）÷（6.5+5）
        　　=51.75÷11.5
        　　=4.5（小时）
        　　答：我军出发4.5小时后与敌人相遇。
        　　例4 甲、乙两地相距200千米，一列货车由甲地开往乙地要行驶5小时；一列客车由乙地开往甲地需要行驶4小时。如果两列火车同时从两地相对开出，经过几小时可以相遇？（得数保留一位小数）（适于五年级程度）
        　　解：此题用与平常说法不同的方式给出了两车的速度。先分别求出速度再求和，根据“时间=路程÷速度”的关系，即可求出相遇时间。
        　　200÷（200÷5+200÷4）
        　　=200÷（40+50）
        　　=200÷90
        　　≈2.2（小时）
        　　答：两车大约经过2.2小时相遇。
        　　例5 在复线铁路上，快车和慢车分别从两个车站开出，相向而行。快车车身长是180米，速度为每秒钟9米；慢车车身长210米，车速为每秒钟6米。从两车头相遇到两车的尾部离开，需要几秒钟？（适于五年级程度）
        　　解：因为是以两车离开为准计算时间，所以两车经过的路程是两个车身的总长。总长除以两车的速度和，就得到两车从相遇到车尾离开所需要的时间。
        　　（180+210）÷（9+6）
        　　=390÷15
        　　=26（秒）
        　　答略。
         

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        行程问题之求速度例题解析
        　求速度
        　　例1 甲、乙两个车站相距550千米，两列火车同时由两站相向开出，5小时相遇。快车每小时行60千米。慢车每小时行多少千米？（适于五年级程度）
        　　解：先求出速度和，再从速度和中减去快车的速度，便得出慢车每小时行：
        　　550÷5-60
        　　=110-60
        　　=50（千米）
        　　答略。
        　　例2 A、B两个城市相距380千米。客车和货车从两个城市同时相对开出，经过4小时相遇。货车比客车每小时快5千米。这两列车每小时各行多少千米？（适于五年级程度）
        　　解：客车每小时行：
        　　（380÷4-5）÷2
        　　=（95-5）÷2
        　　=45（千米）
        　　货车每小时行：
        　　45+5=50（千米）
        　　答略。
        　　例3 甲、乙两个城市相距980千米，两列火车由两城市同时相对开出，经过10小时相遇。快车每小时行50千米，比慢车每小时多行多少千米？（适于五年级程度）
        　　解：两城市的距离除以两车相遇的时间，得到两车的速度和。从两车的速度和中减去快车的速度，得到慢车的速度。再用快车速度减去慢车的速度，即得到题中所求。
        　　50-（980÷10-50）
        　　=50-（98-50）
        　　=50-48
        　　=2（千米）
        　　答略。