五年级奥数天天练及答案10.24（约数与倍数）

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　　难度：★★★★
        　　小学五年级奥数天天练：约数与倍数
       
        　　A,B两数都仅含有质因数3和5,它们的最大公约数是75.已知数A有12个约数，数B有10个约数，那么A,B两数的和等于多少?
       
       
        　　【答案】
       
        　　由题意知A可以写成3×52×a，B可以写成3×52×6,其中a、b为整数且只含质因子3、5.
       
        　　即A:31+x×52+y,B=31+m×52+n,其中x、Y、m、n均为自然数(可以为0)
       
        　　由A有12个约数,所以[(1+x)+1]×[ (2+y)+1]=(2+x)×(3+y)=12，
       
        　　所以  .对应A为31+2×52=675,31+1×52+1=1125,或31+0×52+4=46875；
       
        　　由B有10个约数,所以[(1+m)+1]×[(2+n)+l]=(2+m)×(3+n):10,所以 .对应B为31+0×52+2=1875．
       
        　　只有(675,1875)=75,所以A=675,B=1875．
       
        　　那么A,B两数的和为675+1875=2550
       
       
       
        　　难度：★★★★★　
        　　小学五年级奥数天天练：约数与倍数
       
        　　两个不同自然数的和是60，它们的最大公约数与最小公倍数的和也是60.问这样的自然数共有多少组?
       
       
        　　【答案】
       
        　　解答：设这两数为a,b,记a=(a,b)q1,b=(a,b)q2．
       
        　　它们的和为:a+b=(a,b)q1+(a,b)q2=(a,b)(ql+q2)=60…………①
       
        　　它们的最大公约数与最小公倍数的和为：
       
        　　[a,b]+(a,b)=(a,b)q1q2+(a,b)=(a,b)(q1q2+1)=60，
       
        　　且(q1,q2)=1…………………………………………………………………②
       
        　　联立①、②有(ql+q2)=(q1q2+1),即ql+q2-qlq2=1,(ql-1)(1-q2)=0,所以ql=1或q2=1．
       
        　　即说明一个数是另一个数的倍数,不妨记a=kb(k为非零整数)，
       
        　　有 ,即 确定，则k确定，则kb即a确定
       
        　　60的约数有1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60这12个，b可以等于1，2，3，4，5，6，10．12，15，20这10个数，（因为如果b=60，则(k+1)=1，而k为非零整数，矛盾；b=30，则a=30，a=b，矛盾）
       
        　　对应的a、b有10组可能的值，即这样的自然数有10组．
       
        　　进一步，列出有(a,b)为（1,59），(58,2),(57,3),(56,4),(55,5),(54,6),(50,10)，(48,12),(45,15),(40,20)。