六年级奥数题及答案：平方数

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　　六年级奥数题及答案：平方数
        　　1.完全平方数、位值原理
       
        　　

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        　　【答案】6721207542。将一位、两位、三位、四位数字互不相同的平方数列出，组合可得，满足条件的十位数有2304576819，3025784169，7056324819，9025784361。
       
        　　9025784361-2304576819=6721207542。
       
        　　2.复杂的分类计数
       
        　　由4个边长为1的正方形拼成如左下图所示的左右对称图形，以图中正方形的14个顶点可得到许多不同的三角形，那么，在这些三角形中，面积为1的三角形共有____个。
       
        　　(提示：面积为1的三角形的三角形的三条边中至少有一条边是水平或垂直。)
         
       

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        　　【答案】  44.
       
        　　解：为了叙述方便，我们将正方形的14个顶点都标上字母(见右图)。
       
        　　分类讨论：
       
        　　(1)以长为0.5和1.5为水平边的三角形没有满足条件的。
       
        　　(2)有一条边是水平的且长度为1的三角形。
       
        　　以AB为水平边的三角形，第三个顶点可取H，I，J，K，L，共有5个；同理，以MN为水平边的三角形也有5个。以CE为水平边的三角形，第三个顶点可取M，N，共有2个；同理，以DF，EG，HJ，IK，JL为水平边的三角形也各有2个。在这一类中满足条件的三角形共有5×2+2×6=22(个)。
       
        　　(3)有一条边是水平的且长度为2的三角形。
       
        　　以CG为水平边的三角形，第三个顶点分别可取A，B，H，I,J，K，L，共有7个；同理，以IlL为水平边的三角形也有7个。
       
        　　在这一类中满足条件的三角形共有14个。
       
        　　上面已列举出有一条边是水平的所有满足条件的三角形，最后剩下的是这样的三角形，有一条是垂直的，但另外两条边都不是水平的。
       
        　　(4)垂直的边的长度是1，且没有水平边的三角形。
       
        　　以AD，BF，DI，EJ，FK,IM，KN为垂直的边的三角形都没有。以CH与GL为垂直边的三角形第三个顶点只能分别为G，L与C，H，此时都有一边是水平的，在(3)中已计算过。因此这一类中没有满足条件的三角形。
       
        　　(5)垂直的边的长度是2，且没有水平边的三角形。
       
        　　以AI为垂直边的三角形，第三个顶点可取B，F，K，N，而取B，K时有一条边是水平的，取F，N时没有边是水平的，即还有2个三角形满足条件，同理，以BK，DM，FN为垂直边的三角形也都还有2个没有水平边的。此类中有2×4=8(个)三角形满足条件。
       
        　　(6)以3长为垂直边的三角形没有面积为1的。
       
        　　综上所述，满足条件的三角形共有：
       
        　　22+14+8=44(个)。