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余数推算
其实海伦只不过数出了乐队的总人数，发现它是5的倍数而已。但你怎样才能在没到现场的情况下，确定其人数呢？
哈！诀窍在这儿呢。当乐队排2、3、4列纵队时，总是剩余一个人，即斯皮罗。显而易见，有这种特征的最小数是2、3、4的最小公倍数再加1。而因为最小公倍数是12，所以任何一个比12的倍数大1的数当被2、3、4整除时都余1。
当乐队排五列纵队前进时，一个人也不多余。因此，人数又一定是5的倍数。所以，这个问题的答案一定是下列一串数的倍数：13、25、37、49、61、73、85、97、109、121、133、145……
对于一个学校乐队来说，从145往上太庞大了，所以，尼康高校的乐队或者有85人，或者有25人。至于确定是二者中的哪一个，我们目前缺乏足够的证据。
这个问题有一个很好变形，即除了每次以2、3、4路纵队前进时，最后一排都少一个人外，其它与上题都一样，问现在乐队有多少人？这又要我们写出一串比12的倍数少1，又能被5整除的数，它们是：35、95、155……
美国的难题专家萨姆?洛德先生出了下面一个与上题有关、但更难一点的题：在纽约一个帕特里克节日里，一大群爱尔兰人正准备一年一度的游行，指挥者试图把队伍排成10、9、8、7、6、5、4、3、和2路整齐的队伍前进，但每种情况下最后一排者都少一个人，因此人们认为这个位置大概是给几个月前刚死的卡茜的灵魂留着的。最后，指挥者无可奈何命令队伍排单列纵队前进。假设游行队伍的总人数不超过5000人，那么参加此次游行的共计有多少人？这是一道寻找一系列数字的最小公倍数的极好的练习。这种情形下的最小公倍数是2520，如果去掉“卡茜”所占的位置，最终答案是2519。
如果每一次分配后剩下的人数是各不相同的，则问题似乎都比较困难。其实不然。比如追溯到十七世纪，印度算术课本上有这样一道难题：一位挎着一篮鸡蛋的妇女被疾驰而过的马所惊，鸡蛋篮掉在了地上，篮子里的鸡蛋全碎了。当问及篮子里有多少蛋时，她只能记起当她以2、3、4、5为一组数鸡蛋的数目时，每次分别剩余1、2、3、4只鸡蛋。那么她篮子里原来盛有多少鸡蛋呢？
这题乍看确实比上题难得多。实际上，它与我们做过的第二题的第一部分一样，因为在每种情形下，余数都比除数少1，因此与前面一样，它可以通过寻找最小公倍数再减去1来解决。
当余数与除数没有固定关系时，问题就会真正变得变杂了。下面是一道以这类题为基础，借助计算器来进行的魔术，你将发现它是既有趣又迷惑人的。
魔术师背对观众坐在一张椅子上，让某位观众心中随意想定一个不超过1000的数，然后用7去除这个数并报出余数；然后再用11去除原来想定的数，然后再用13去除，并都报出余数。
为加快这一魔术的进行，这位观众用袖珍计算器算出三个余数。其实这借助下面算法很容易解决：先完成除法，去掉商的整数部分，再将剩下的分数部分乘以原来的除数，得出的结果即为要找的余数。
魔术师不仅仅知道三个余数，他之所以能猜算观众想的那个数字，缘由在于他也使用了袖珍计算器和贴在计算器上面小纸条上的公式：即：
K=(715a+364b+924c)/1001(其中K为要求的数)
在这个公式中，a、b、和c分别代表三个被报出来的余数，所求的数就是通过此公式计算出来的余数。
这个奇怪的公式是这样得到的。第一个系数是比a的倍数多1的b×c的最小倍数。找它有一个诀窍，当除数很小时，比如像此题的情况，很容易得到要求的数。简单增长b×c的倍数(143，286，572，715……)，直到此数被a除余1即是，在此a=7的情形下，系数是715。
其它两个系数可以通过同样途径得到。第二个系数是a×c的倍数中被b除余1的最小的数；第三个系数是a×b的倍数中被c除时余1的最小的数。公式中分数线下面的系数就是由简单的a×b×c得来。通过这个公式，你可由任何一组被提供的互素的除数(没有公约数)导出一个玄秘的公式。这里除数之间互素并不是必要条件。只是在我们的例题中为计算方便。
这个一般公式的证明要用到“模算术”及“中华余数定理”。这个定理是最有价值的数字定理之一，而这些数字定理在很多类似科学命题的高深证法中起很重要的作用。
下面做一个练习，试导出一个公式，作为这一魔术的简单翻版。这练习可追溯到公元一世纪中国数学家孙子，“中华余数定理”即以他的名字命名。此练习中被选的数字限定在1到105，除数是3，5和7，在此情形下，公式推导相当简单，经过多次练习。你甚至可以用心算。
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发表于 2016-8-13 14:36:18