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化整为半的趣事
当你思考一件事物的一半再加上1/2不是一个整数时，你是否感到困惑？如果是这样，当你试图通过“唱片要割裂吗”一事来解决这一谜团时会更迷惑。嗨！这问题的诀窍在于领悟到一个奇数唱片的一半再加上一张唱片的一半正好是一个整数。
因为海伦做完第二次赠送时，她只剩下1张唱片，所以在她赠给乔之前，她一定有3张唱片。3的一半是1.5，那么1.5+1/2=2，因而海伦的第二次礼品是2张唱片，最后她只剩下1张完整的唱片。现在可以很容易地回想明白海伦开始时一定有7张唱片，其中4张送给了苏茜。
其实这问题可以通过代数方法解决。为此列和解一个方程是基础代数中有代表性的练习。但对这样一个简单问题要列如下一个复杂方程你一定会感到很吃惊吧：
X-(X/2+1/2)-[X-（X/2+1/2）]/2=1
通过改变参数，很容易形成同一类型的新问题。例如：假定海伦在赠予的每一步都遵循同样的程序，即把她的唱片分成两半再加上半张作为1份礼物．但这次做3次这样的赠送而非两次，最后她一张唱片也没有了，那么开始她有多少张唱片？结果非常有趣，唱片的数目与原来一样，仍是7张。假如她把“对半分”的过程重复四次，最后剩下1张唱片，那么她开始有多少张唱片？5次呢？通过这些数字可以产生一个什么样的数列呢？
另外，每次赠送出礼品的参数可以是变化的。假如海伦每次赠送出她的唱片的1/3再加上1张唱片的1/3，两次后，她还剩下三张唱片，那么她开始总共有多少张唱片呢？如果重复上述过程三次，最后还剩下三张唱片，这题可解吗？通过变化参数。包括步骤数、每一步的数量、最后剩下的完整唱片数，你能发现在每一张唱片都不被割裂的情况下，此类问题并不是总有解的。那么需要什么样的前提条件这类不需割裂唱片的题目才能设计出来呢？
其实，在每一步中，步与步的数量不一定要完全相同，比如：下面是一道每一步数目都变化的难题。
一个小孩养了一池金鱼。一次他准备全部将其卖掉，具体工作分成五步做：
1．他卖掉全部金鱼的一半再加上半条鱼；
2．他又卖掉剩下金鱼的1/3再加上1/3条鱼；
3．他再卖掉剩下金鱼的1/4再加上1/4条鱼；
4．他最后卖掉所剩鱼的1/5再加上1/5条鱼；
5．最后他一次卖掉剩下的全部11条鱼。
其实在每一过程中都没有任何一条鱼被切开或毁环，那么他最开始有多少条金鱼？虽然答案是59条，但这问题并不像前述问题一样容易解答。这点当你解答完毕后自然会明白。
下面是一道同一类型但稍有变动的题。
一位女士袋内有一定数量的钞票，没有其它钱币，
1．她花了一半的钱买了一顶遮阳帽，并给了商店外的乞丐1元；
2．她花掉剩下钱的一半吃午饭并给侍者小费2元；
3．她又花了剩下钱的一半买了一本书，回家前，又光顾鸡尾酒家买了三元的饮料；
现在，她只剩下一元钱。假设她一直没兑换过零钱，那么开始她有多少钱？(答案在书后找)稍加注意，你能发现在每种变化中，最后剩下的物件的数目总是已知的。虽然没有这一条件题目最后也能解。但它需要整数不定方程的知识。这一类型中最著名的难题构成了一则短故事的根据，这则故事被美国作家本?阿姆斯?威廉姆斯发表在1926年10月9日的“星期六晚报”上。
这个故事的标题叫“椰子”。故事梗概是五个男人和一只猴子被失事的船搁浅在一座岛上。第一天，他们花了一整天的时间采摘了一大堆椰子以备以后充饥。晚上，其中某一个人醒来后觉得应该把他应得的一份拿出来，于是他把整堆椰子分成五份，最后还剩下一个。他决定把这一个椰子分给猴子。然后他藏好他的一份后再整理好椰子堆，回去睡觉了。
不久又一个人醒了，并且产生了同样的念头。于是他把椰堆分成五份，最后又恰巧剩一个分给猴子。他如上整理好后也回去睡觉了。第三、四、五个人也重复了同样的过程。第二天早晨，当他们都醒后，把剩下的椰子分成均等的五份，这次正巧一个椰子也没剩下。
那么最开始他们采摘了多少个椰子？
这个问题有无穷多个答案，其中最少的一个数是3121。这一问题很难。
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发表于 2016-8-13 14:36:16