《啊哈!灵机一动》：数字游戏――关于数字的谜题

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　　“计算”一词的应用面很广，本章我们讨论的范围只限定在整数的加、减、乘、除法四则运算范畴内。
　　在人类早期(具体时间无法确定)的某一刻，原始人类不知由于什么原因慢慢发现了事物是可以计数的，并且计数的结果与计数的顺序没有关系。比如你在手指上计两只羊，它与你从哪只羊开始计没有关系，同样与你从拇指或小指开始计也没有关系，最后总是数到2为止。如果你数完两只羊后再数一只，那一定数到3为止。
　　人类对形如2十1=3这样的计算理论的认识一定慢慢经历了很漫长的时期。如果我们能打开一幅过去历史的发展画卷，我们一定能发现没有一个单一的年代能够令我们说“这就是人类发明了计算的年代”。这就如同孩子们对数的计算的认识过程一样，某一小孩可能在某一时刻第一次说出1+1=2，但他或她在第一次用词语描绘它以前。对这一式子的认识过程可能已经经历很长时间了。
　　虽然导之于数字系统公理及定义的推理应运而生，但这并不意味着我们仅凭听一下就能断定某一计算陈述的正确与否。比如某人声称12 345 679×9=111 111 111，他没经过做乘法验证以前，你不可能完全相信。有些计算方面的定理陈述看起来很简单，但其内涵却很深奥，以致于可能没有人知道其正确与否，“哥德巴赫猜想”就是一个很著名的例子。任何一个大于2的偶数都可表示为两个素数的和吗？迄今还没有人能证明它是正确的，但也没有人能举出反例。
　　在这一部分，我们考虑关于计数方面比较简单的一类问题。假如我们处理得适当，所有问题都有很简单的解法。我们精选的问题虽然很基本，但却介绍了一些重要的概念及技巧，以引导我们在“数论”即过去被称作“高等计算”方面达到一定水平。例如书中“唱片要割裂吗”部分介绍“丢番图”分析时。以之作为方程积分解法的发现，“多余的一个”包含了最基本的最小公倍数的概念，并依照“中华余数定理”可得到意想不到的简单解法。
　　在计算机研究及分类理论中占重要地位的二进制分类方式。构成了猜测海伦的“未入册的电话号码”这一趣事的基础，并且介绍了记忆的二进制系统。在数论的很多高深证法中显得最基本的“鸽洞原理”。用来证明了两个有趣结果。其一是关于钞票问题的，其二是关于头上生长的头发问题的。两个整数互素(没有公约数)这一论据对表的时针、分针、秒针只能在12点完全重合――一个通常用乏味的代数方法才能证明的
　　定理提供了一个出人意料的简捷方法。
　　关于瓶子计数方面的一个难题通过使用模算术得到了很简单的结束，并由此引出了约瑟夫斯问题――一个类似于玩牌游戏中“通吃”这一方式的典型的数字难题。
　　尽管这一部分的问题对于数学家来说很平常，但它毕竟在重要的“数论”领域方面开辟了一条探索途径。