《啊哈!灵机一动》－巧切乳酪

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　　三刀如何切
　　罗杰小姐的想法是，乳酪是个圆柱状固体，可以沿水平方向从乳酪的半腰处把它一刀两半，如图2―1所示。按图中虚线的切法，三刀可以把乳酪八等分。这种切法的前提是，每刀之间互不影响，换言之，先被切下的每一块都不可挪动。还有一种切法是，一刀一刀地切，每切一刀时，可以挪动被切下的部分，可以重新安排每部分之间的相互位置。对本题来说，这种切法也可以三刀把乳酩八等分。具体切法是：先一分为二，再把两部分摞起来切，二分为四，再把四部分摞起来切，四分为八。

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　　图2-1
　　罗杰小姐的想法很简单，甚至可以说极其平常。但是循着她的思路去思考，我们很快会豁然领悟：可以利用计算有限差分的方法来探讨切割问题并用数学理论去证明它。有限差分的计算对于求数列的通项公式是一个有力工具。涉及数列的问题在实际生活中触手可及，利用计算机来解决又非常迅速，所以这类问题越来越引起人们的极大兴趣。
　　罗杰小姐切乳酪的最初想法是单纯经过乳酪上表面的中心垂直地切。乳酪的上表面像一张煎饼一样是个平面。那么我们就不妨试一下，简单地切一张煎饼会得出一个什么样的数列。如果每一刀都经过煎饼的中心，那么很显然，切n次最多得到2n块。
　　是否对于任何封闭曲线构成的平面图形切n次最多都只能得到2n块？不――如图2―2所示，这是一个很容易画出来的非圆图形。对于这个图形，一刀你就能切下很多块。那么有没有可能画出这样一个图形，使得切一刀可得到彼此全等的数量一定的几块？如果有可能，它的周边要具有什么特性？ 如果每一刀的切法不一样，那么切煎饼的问题便会复杂了，你不停地切下去很快就会发现，到n=3的时候，得出的结果已超过2n块。这里我们暂不考虑切下的每一块是否全等或者面积是否相等。图2―3表示出当n=1、2、3、4时，最多能得到多少块――2、4、7、11。

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　　图2-3
　　这里，n代表所切的次数。从n=0开始，前十次切出的块数是1、2、4、7、l1、16、22、29、37、46……请注意第一列差分是1、2、3、4、5、6、7、8、9……第二列差分是1、1、l、1、1、1、l、1……从这里我们可以明显地看出，数列的通项对于切的次数n是二次函数。
　　我们之所以说“明显地看出”，是因为通过有限差分的计算得出的公式并不能保证它对于无穷数列同样成立，亦即科学的证明不可或缺。当然对于这个切煎饼的公式，用数列归纳法即可轻而易举证明之。
　　举一反三，你可以举出许许多多类似的问题，有些问题得出的数列、通项公式及其数学证明都很有意思。这里我们不妨聊举数例。对于下列五种情形，每种情况下最多能得出多少份？
　　1．在马洞形(horsehoe)的煎饼上切n刀。
　　2．对一个球体、或对一个圆柱体切n次(允许水平方向切)。
　　3．用圆形的饼干切刀(circular cookie cutter)对煎饼切n次。
　　4．对圆环形煎饼(中心有一个圆孔)切n次。
　　5．对油炸圈饼(圆环体)切n次(允许水平方向切)。
　　请按照前面提到的两种不同切法来解决这些问题，看看答案如何变化。