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“全部”即是一
这个混淆的小问题可以用心算来解决，只要你认识到“全部”这个词也可以只是一个动物，最简单的情况――一条狗、一只猫、一只鹦鹉――就给出了答案。但是，这是把问题用代数式解决的一个很好的练习。
用x，y和z代表狗、猫和鹦鹉的数量，n表示全部动物的数量，我们可以写出四个联立方程式：
n=x+2
n=y+2
n=z+2
n=x+y+z
这些方程可用任何标准解法来解，从前三个方程中得到x=y=z，从n=x+2和n=3x(从第四个方程中得到)我们可以写出x+2=3x，它给出x的值是1，从x的值随后就可以得到全部的答案。
由于动物的数量是正整数，我们可以把奎伯的宠物问题认为是对所谓丢番图问题的简单检验，这是一个必须用整数求解的代数方程问题。丢番图问题可以无解、一个解、有限解和无限解。这是一个难度较小的丢番图问题，涉及三种不同动物的联立方程式。
1头奶牛值10美元，1头猪值3美元，1头羊值50美分。一个农夫要买100头牲畜，每种至少买1头，总共花100美元，每种牲畜各买多少？
用x表示奶牛数，y表示猪数，z表示羊数，我们可以写两个方程：
10x+3y+z/2=100
x+y+z=100
在第一个方程中各项都乘以2消去分式，然后再减去第二个方程，这就消去了z，得到：
19x+5y=100
x和y应是什么整数值？求解的途径是安排方程左边的最小系数：5y=100-19x两边用5除：y=(100-19x)/5现把100和19x用5除，把5的余项放后边形成未尾的分式，结果是：y=20-3x-4x/5
显然，表达式4x/5一定是整数，这意味着x必须是5的倍数，5的最小倍数是5自身，这给出y的值是1(代回两个原方程式)，得z的值为94，如x取大于5的倍数，y就是负值，所以这个问题只有一个解：5头奶牛，一头猪和94头羊。
只要在这个问题中改变动物的价格，你就能发现许多基本的丢番图分析。例如，奶牛4美元，猪2美元，羊1/2美元，如果这个农夫用100美元买100头牲畜，每种牲畜至少一头，各买多少头？这种情况下有三个解。如果奶牛5美元，猪2美元，羊50美分呢？此时无解。
丢番图分析是数论的一个重要分支，有无限应用前景，一个著名丢番图问题――费马最后定理，对于方程xn+yn=zn是否有整数解，这里n是大于2的正整数，(如果n=2，称为毕达哥拉斯三角形，从32+42=52。开始有无限解)，这是数论中最著名的没有解决的问题，没有人找列一个解或证明其无解。
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发表于 2016-8-13 14:36:07