排列组合的基本理论和公式

小学教育网

          
          

       
  12
                               
        　　排列与元素的顺序有关,组合与顺序无关．如231与213是两个排列,2＋3＋1的和与2＋1＋3的和是一个组合．
       
        　　(一)两个基本原理是排列和组合的基础
       
        　　(1)加法原理：做一件事,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,……,在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn种不同方法．
       
        　　(2)乘法原理：做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,……,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×…×mn种不同的方法．
       
        　　这里要注意区分两个原理,要做一件事,完成它若是有n类办法,是分类问题,第一类中的方法都是独立的,因此用加法原理；做一件事,需要分n个步骤,步与步之间是连续的,只有将分成的若干个互相联系的步骤,依次相继完成,这件事才算完成,因此用乘法原理．
       
        　　这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的,因此也将两个原理区分开来．
       
        　　(二)排列和排列数
       
        　　(1)排列：从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
       
        　　从排列的意义可知,如果两个排列相同,不仅这两个排列的元素必须完全相同,而且排列的顺序必须完全相同,这就告诉了我们如何判断两个排列是否相同的方法．
       
        　　(2)排列数公式：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列
       
        　　当m＝n时,为全排列Pnn=n(n－1)(n－1)…3·2·1＝n!
       
        　　(三)组合和组合数
       
        　　(1)组合：从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从 n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
       
        　　从组合的定义知,如果两个组合中的元素完全相同,不管元素的顺序如何,都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时,才是不同的组合．
       
        　　(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个
       
        　　这里要注意排列和组合的区别和联系,从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,“按照一定的顺序排成一列”与“不管怎样的顺序并成一组”这是有本质区别的．
       
        　　一、排列组合部分是中学数学中的难点之一,原因在于
       
        　　(1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型,需要较强的抽象思维能力；
       
        　　(2)限制条件有时比较隐晦,需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解；
       
        　　(3)计算手段简单,与旧知识联系少,但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大；
       
        　　(4)计算方案是否正确,往往不可用直观方法来检验,要求我们搞清概念、原理,并具有较强的分析能力.
       
        　　二、两个基本计数原理及应用
       
        　　(1)加法原理和分类计数法
       
        　　1．加法原理
       
        　　2．加法原理的集合形式
       
        　　3．分类的要求
       
        　　每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法,互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法,都属于某一类(即分类不漏)
       
        　　(2)乘法原理和分步计数法
       
        　　1．乘法原理
       
        　　2．合理分步的要求
       
        　　任何一步的一种方法都不能完成此任务,必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同,则对应的完成此事的方法也不同