小学数学解题常见错误分析：整数—数的整除

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                                　 （3）数的整除
　　例 1（1）下列算式中，能整除的算式是（    ）。1.5÷0.5，10÷4，24÷6。
　　（2）判断题：18能被0.3整除（    ）。
　　[解]（1）24÷6。
　　（2）×
　　[常见错误]
　　（1）1.5÷0.5，10÷4，24÷6。
　　（2）√
　　[分析]
　　产生上述错误的原因是不明白整除必须具备三个条件：①整数除以自然数；②商是整数；③余数为0．1．5÷0.5不合第①条，10÷4不合第②③条，18÷0.3也不合第①条，所以都不能叫做整除．只有24÷6=4，才叫做24能被6整除．
　　例 2 分解质因数
　　（1）把180分解质因数。
　　（2）把60分解质因数。

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　　180=2×2×3×3×5．  60=2×2×3×5。
　　[常见错误]
　　180=4×3×3×5，60=2×2×15，60=1×2×2×3×5。
　　[分析]
　　产生上述错误的主要原因是对于分解质因数的概念不清．把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数．因此，这些相乘的因数必须是质数，而180=4×3×3×5和60=2×2×15中的4和15都是合数．60=1×2×2×3×5中的1既不是质数，也不是合数．这是在短除时没有用质数去除或除得的商还不是质数的缘故．所以，把一个合数分解质因数，一定要用能整除这个合数的质数（通常从最小的开始）去除，得出的商如果是质数，就把除数和商写成相乘的形式；得出的商如果是合数，就照上面的方法继续除下去，直到得出的商是质数为止；然后把各个除数和最后的商写成连乘的形式。
　　例 3 求最大公约数和最小公倍数
　　（1）12和8的最大公约数是（    ），最小公倍数是（    ）。
　　（2）36和48的最大公约数是（    ），最小公倍数是（    ）．
　　（3）4、6和9的最大公约数是（    ），最小公倍数是（    ）。
　　（4）6、9和15的最大公约数是（    ），最小公倍数是（    ）。
　　（5）从10起的三个连续自然数是（    ），它们的最大公约数是
　　（    ），最小公倍数是（    ）。
　　[解]（1）4，24。
　　（2）12，144。
　　（3）1，36。
　　（4）3，90。
　　（5）10，11，12.1，660。
　　[常见错误]
　　（1）2，48．或24，4。
　　（2）4，432．或144，12。
　　（3）6，36。
　　（4）1，810。
　　（5）1，1320。
　　[分析]
　　（1）（2）题的第一种错误产生的原因是因为在求最大公约数和最小公倍数的过程中，只完成了下列步骤：

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　　上面6和4，9和12都不是互质数，还应该用它们的公约数继续去除，直除到商为互质数为止．否则得到的公约数不是最大的，公倍数也不是最小的．
　　（1）（2）题的第二种错误产生的原因是对最大公约数和最小公倍数的概念不清，误认为大数就是最大公约数，小数就是最小公倍数．所以，一定要先区分约数和倍数的概念。
　　（3）题的情况就比较复杂了，因为求三个数（或三个以上的数）的最大公约数和最小公倍数的方法，与求两个数的最大公约数和最小公倍数的方法有些不相同．本题最大公约数与最小公倍数的求法分别是：

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　　因为除1外，没有一个自然数能同时被4、6、9整除，所以4、6和9的最大公约数是1.4、6和9的最小公倍数是36。
　　求最大公约数时，要用能整除每个数的约数去除，而求最小公倍数时，只要有两个数还有公约数就要继续往下除，直至除到两两互质为止．如果不能区分这一点，就会误认为它们的最大公约数是6。
　　（4）题没有找出6、9和15的公约数3，所以求出的1和810都是错误的．（5）题由于10和12不是互质数，求三个数的最小公倍数时应用2去除，因此，最小公倍数是660，不是1320．即：

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　　10、11和12的最小公倍数为2×5×11×6=660。
　　例 4 填空题
　　（1）在 7，8，15，13，24，36这六个数中，（    ）是质数，（    ）是合数；（    ）是奇数；（    ）是偶数。
　　（2）能同时被2、3、5整除的最小的数是（    ）。
　　（3）10以内不是偶数的合数是（    ）；不是奇数的质数是（    ）。
　　（4）A既能整除12，又能整除36，A最大应该是（    ）。
　　（5）在自然数中，最小的质数是（    ），最小的合数是（    ），最小的奇数是（    ），最小的偶数是（    ）。
　　[解]（1）（7，13）是质数，（8，15，24，36）是合数，（7，15，13）是奇数，（8，24，36）是偶数。
　　（2）是（30）。
　　（3）是（9）；是（2）。
　　（4）是（12）。
　　（5）最小的质数是（2），合数是（4），奇数是（1），偶数是（2）。
　　[常见错误]
　　（1）（7，15，13）是质数，（8，24，36）是合数。
　　（2）是（15）或是（60）。
　　（3）是（4，6，8，9），是（2，3，5，7）。
　　（4）是（36）、（72）、（144）…
　　（5）最小的质数是（1），合数是（2），奇数是（3），偶数是（4）。
　　例 5 判断题
　　（1）互质数没有公约数．（    ）
　　（2）一个自然数不是质数就是合数．（    ）
　　（3）在自然数列中，相邻的两个数一定互质．（    ）
　　（4）所有的偶数都是合数．（    ）
　　（5）如果两个数是互质数，那么这两个数必定都是质数．（    ）
　　（6）最小的质数是1．（    ）
　　（7）两个数的公约数，一定小于这两个数中的每个数．（    ）
　　（8）两个质数的积一定是合数．（    ）
　　[解]（1）×（2）×
　　（3）√（4）×
　　（5）×（6）×
　　（7）×（8）√
　　[常见错误]
　　判断恰与上述判断相反。
　　[分析]
　　上面例4和例5的解答错误都是属于概念性错误，因为在数的整除这一章教材中，概念很多，并且这些概念既有联系，又有区别，很容易混淆．下面我们分类来分析上述各题的解答错误。
　　1．约数和倍数
　　例4（2）题把能同时被2、3、5整除的最小的数写成是15或60，前者不能被2整除，后者虽说同时能被2、3、5整除，但不是最小的．所以都是错误的．要能被2、3、5整除，且是最小的数，显然就是求2、3、5的最小公倍数，2、3、5已是两两互质，所以最小公倍数为2×3×5=30。
　　例4（4）题把A最大填成36等，是因为把“A能整除12，又能整除36”错误理解为“A能被12整除，又能被36整除”．这和除法里的“除”和“除以”的区别是一个道理。
　　例5（7）题“两个数的公约数，一定小于这两个数的每个数”的说法是错误的，因为如果小数能整除大数，那么小数就是这两个数的最大公约数．它并不小于这两个数的每个数．如36和12的最大公约数就是12．
　　2．质数和合数、奇数和偶数
　　质数和合数是从约数的个数进行判断的，一个大于1的整数，如果只有1和它本身两个约数，就叫做质数；如果除了1和它本身以外还有其他的约数，就叫做合数．而奇数和偶数是从能否被2整除来进行判断的，能被2整除的叫做偶数；不能被2整除的叫做奇数．因为除2以外，所有的偶数都为合数，所有质数都为奇数，而又有许多奇数又为合数，所以很容易把质数与奇数、合数与偶数混淆．再有1是奇数，但1既不是质数又不是合数．如果这些概念不清楚就会出现解题错误。
　　例4（1）题把7、15、13看成是质数，就是因为把质数与奇数混淆了，7、15、13虽然都是奇数，但15又是合数。
　　例4（3）题虽然4、6、8、9都是合数，但其中仅有9不是偶数，所以不是偶数的合数只有9；2、3、5、7都是质数，但其中仅有2不是奇数．所以不是奇数的质数只有2。
　　例4（5）题，按定义来判断，因为1既不是质数，也不是合数；那么2是最小质数；1是奇数，那么3就不是最小的奇数；2是偶数，那么4也不是最小的偶数。
　　例5（1）题，因为任何两个数至少都有公约数1，那么不能说“互质数没有公约数”。
　　例5（2）（6）题，因为1既不是质数，又不是合数，所以“一个自然数不是质数就是合数”和“最小的质数是1”的判断都是错误的。
　　例5（3）题，因为在自然数列中，相邻的两个数都只有公约数1，所以它们“一定互质”的判断是正确的。
　　例5（4）题，因为2是偶数，但不是合数，所以“所有的偶数都是合数”的判断是错误的。
　　例5（5）题，互质数与质数是两个既有联系又有区别的概念．质数是对自然数分类而言，它是说明数的性质的概念，而互质数是说明数与数关系的一个概念，它和数本身的性质没有关系．只要两个数的最大公约数是1，这两个数就是互质数．因而可能这两个数都是质数，或一个质数一个合数，或两个数都是合数．如 3和5、7和10，8和9等都是互质数．所以“如果两个数是互质数，那么这两个数都是质数”的判断是错误的。
　　例5（8）题，因为两个质数的积，它的约数除了1和它本身外，还有这两个质数一定是它的约数，所以“两个质数的积一定是合数”。
　　综上所述，要正确解答这类题的关键是要理解和掌握有关的概念，切忌混淆。