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七、比和比例
比和比例的知识是小学阶段数学最后学习的内容。比和过去学过的除法、分数既有联系又有区别，比例是用比的知识来定义的。因此学好这部分内容，既要有数的概念与四则运算知识的扎实基础，又要能用新的观点来阐明数量间的关系，例如学习正比例与反比例的有关知识时，就要善于观察一种量是怎样随着另一种量的变化而变化的。
比和比例不仅应用非常广泛，而且是小学生今后进一步学习的基础知识。由于学生的基础参差不齐，理解能力有高有低，因此学习这部分内容时常常产生一些错误。
例 1 一辆汽车3小时行驶184千米。写出汽车所行路程与时间的比。
[解]汽车所行的路程与时间的比是184∶3。
[常见错误]
汽车所行的路程与时间的比是3∶184。
例 2 一个长方形长1.2米，宽80厘米。写出这个长方形长与宽的比和宽与长的比。
[解]1.2米=120厘米。
这个长方形长与宽的比是：
120∶80=3∶2。
这个长方形宽与长的比是：
80∶120=2∶3。
[常见错误]
这个长方形长与宽的比是1.2∶80，
这个长方形宽与长的比是80∶1.2。
[分析]
例 1 的解答错误是把比的前项与后项颠倒了，或者是答非所问。这两点是初学比时学生最容易犯的错误。我们知道，两个数相除又叫做两个数的比。在除法中被除数与除数是不能随意颠倒位置的，因此比的前项与后项的位置也不能随便颠倒。
尽管两个不同类的量能够相比，但两个同类量相比时单位必须统一。例2的解答错误就是没有把同类量化成统一单位。由于同类量的相比实质上是求的倍数关系，单位不统一就求不出这个倍比关系，这和两个同类量相除必须化成同一单位的道理是一样的。
例 2 把下面的比化简。
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[常见错误]
10.5∶3.5＝105∶35＝3∶1
例 5 把10.5∶3.5化简。
[解]10.5∶3.5=105∶35=3∶1。
[常见错误]
10.5∶3.5＝105∶35＝3∶1＝3。
[分析]
例 4 与例5的解答所出现的两个错误，主要是对求比值与化简比混淆不清造成的。比值是一个数（相当于除法中的商），它可以是整数、小数，也可以是分数；但化简后的比仍然是一个比。
求比值是用比的前项除以后项，化简比是先化成整数比，再化成最简整
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[分析]
解答例6时一般容易出现以上两种错误，一是图上距离比实际距离时，没有化成相同的长度单位；二是比例尺应是个比值，不带单位，然而在错解（2）中比例尺却带上了单位。
必须注意的是比例尺的名称，很像我们量长度用的“尺”，实际上表示的是图上距离与实际距离的比值，因此，不能带单位。
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[分析]
本题的错误主要体现在单位的换算上，由于图上距离一般用厘米为单位，而实际距离往往用千米作单位，两者之间的进率是十万。即1千米=100000厘米
当把1千米化成厘米时，多写或少写一个0，这是经常出现的，防止出错的办法，是要记住：把千米化成厘米时，在数的末尾添上五个0，若把厘米聚成千米时，则要去掉数末尾的五个0。
除了单位间的换算出错外，有的学生在书写格式上也常常出现下面的连等式。
x=36000000=360（千米）
这种连等式，显然也是错误的。
例 8 学校把120棵树苗分给五年级与六年级的同学栽种。已知五年级同
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答：由赵村去县城用了3小时，由县城返回赵村用了1.8小时。
[分析]
根据这道题的条件可知，汽车往返的距离一定，因此汽车行驶的速度与所用的时间成反比。若往返的速度之比是3∶5，则往返所用的时间比就是5∶3，然后再按比例分配问题求解，而上面的错解却依据两车速度的比来“分配”两车所用时间，显然题目做错。
例 10 一堆煤，计划每天烧1.5吨，可以烧24天。改建炉灶后，每天节约20％，这堆煤实际烧了多少天？
[解]煤的总量一定，每天的烧煤量与烧煤的天数成反比例。
设这堆煤实际烧了x天。
1.5×（1-20％）x=1.5×24。
1.2x＝1.5×24，
x＝30。
答：这堆煤可以烧30天。
[常见错误]
煤的总量一定，每天的烧煤量与烧煤的天数成反比例。设这堆煤可以烧
x天。
1.5×20％x=1.5×24。
0.3x＝1.5×24，
x＝120。
答：这堆煤可以烧120天。
[分析]
根据这道题的已知条件，改建炉灶后，每天烧煤节约20％，上面的错解却误认为炉灶改进后，每天烧煤是原来的20％，因此题目解答出现错误。
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发表于 2016-8-13 14:12:40