小学数学解题常见错误分析：典型应用题—归一问题

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                                　　（2）归一问题
　　复合应用题中的某些问题，解题时需先根据已知条件，求出一个单位量的数值，如单位面积的产量、单位时间的工作量、单位物品的价格、单位时间所行的距离等等，然后，再根据题中的条件和问题求出结果。这样的应用题就叫做归一问题，这种解题方法叫做“归一法”。有些归一问题可以采取同类数量之间进行倍数比较的方法进行解答，这种方法叫做倍比法。
　　由上所述，解答归一问题的关键是求出单位量的数值，再根据题中“照这样计算”、“用同样的速度”等句子的含义，抓准题中数量的对应关系，列出算式，求得问题的解决。
　　例 1 小红骑车3分钟行600米，照这样的速度她从家到学校行了10分钟，小红家到学校有多少米？
　　[解]600÷3×10
　　=200×10
　　=2000（米）。
　　答：小红家到学校有2000米。
　　[常见错误]
　　600÷10×3
　　=60×3
　　=180（米）。
　　答：小红家到学校有180米。
　　[分析]
　　解答上题先要求出1分钟行的路程，再求出10分钟行的路程。错解中把3分钟行600米，看成了10分钟行600米，因此，第一步求单位量的数值就错了，后面再去乘以3是毫无道理的。防止出错的根本办法是解题时要找准对应的数量。如上例，3分钟行的路程对应的是600米，10分钟行的路程对应的小红家到学校的路程。
　　例 2 某运输公司用6辆汽车运水泥，每天可运96吨。根据运输情况，现在增加4辆同样的汽车，每天一共运水泥多少吨？
　　[解]96÷6×（6+4）
　　=16×10
　　=160（吨）。
　　答：每天可运水泥160吨。
　　[常见错误]
　　96÷6×4
　　=16×4
　　=64（吨）。
　　答：每天可运水泥64吨。
　　[分析]
　　解答归一问题先求出单位量的数值，但对题中要求的问题应加以分析。上题中“增加4辆同样的汽车”，每天一共运水泥多少吨，应是增加的汽车运输量与增加前的运输量的和，即 10辆汽车的运输量。归一问题常常发生例2的错解，主要原因是没有认真分析与理解题意，把要求的问题所对应的数量搞错，从而出现错误。
　　例 3 某县化肥厂计划春节前40天生产化肥3400吨，实际头8天生产化肥720吨。照这样计算，春节前可超产多少吨？
　　[解]720÷8×40-3400
　　=90×40-3400
　　=3600-3400
　　=200（吨）。
　　答：春节前可超产200吨。
　　[常见错误]
　　（1）3400÷40×（40-8）+720
　　=85×32+720
　　=2720+720
　　=3440（吨）。
　　答：春节前可超产3440吨。
　　（2）720÷8×40
　　=90×40
　　=3600（吨）。
　　答：春节前可超产3600吨。
　　（3）720÷8-3400÷40
　　=90-85
　　=5（吨）。
　　答：春节前可超产5吨。
　　[分析]
　　学生对归一问题的基本应用题一般都能解答出来，但是，对归一问题的扩展题解答时却常常出错。例3就是这种扩展题，出现的第一个错解是对题意不理解，仅根据题中已知条件的表面联系，胡乱凑在一起，进行解答。错解（2）与错解（3）都是答非所问，没有按照题目的要求，进行解答。错解（2）求出的是春节前实际生产的吨数，错解（3）求出的是实际每天比原计划每天多生产的吨数。为了防止归一问题的扩展题解答出错，关键还是要掌握归一问题的基本解法。如例3先求出每天实际生产的吨数，再求出春节前40天实际生产的总吨数，最后求出超产的吨数。按照这个思路，解题就不会出现错误。归一问题的扩展题往往有多种解法，如例3可用倍比法先求出实际产量，再减去原计划产量就得超产量。列式为：
　　720×（40÷8）-3400。
　　也可以先求出每天的超产量，然后再求出40天的超产量。解答的算式为：
　　（720÷8-3400÷40）×40。
　　例 4 洗衣机厂计划25天生产洗衣机4000台，实际每天比计划多制造40台。照这样计算，完成原定生产任务要少用多少天？
　　[解]25-4000÷（4000÷25+40）
　　=25-4000÷（160+40）
　　=25-4000÷200
　　=25-20
　　=5（天）。
　　答：完成原定生产任务要少用5天。
　　[常见错误]
　　4000÷（4000÷25+40）
　　=4000÷（160+40）
　　=4000÷200
　　=20（天）。
　　答：完成原定任务要少用20天。
　　[分析]
　　例 4 是一道较复杂的归一问题的应用题，错解算出的是完成原定生产任务所需的时间，而忽略了题中要求的是少用多少天。解复杂的归一问题的应用题，也和解其他类型的应用题一样，可从题目本身的问题出发，逆推分析，从而求得问题解答的算式。像这道题要求少用多少天，必须知道计划天数（已知为25天）与实际生产天数；要求实际生产天数必须知道实际生产量（已知为4000台）与每天实际生产台数；要求每天实际生产台数必须知道原计划每天生产台数（算式为4000÷25）与实际比计划多生产的台数（已知为40台）；这样逐步导出的解答算式为：25-4000÷（4000÷25+40）。
　　（3）行程问题
　　反映时间、速度、距离三者之间关系的应用题一般称为行程问题。行程问题的内容相当广泛，目前小学数学教材中行程问题仅涉及相向运动中的相遇问题。
　　相遇问题是研究两个运动的物体，从两个不同的地方，沿同一条路线同时（或者不同时）出发，作相向运动。因此，它有三种基本形式：
　　第一是已知甲、乙的速度和相遇的时间，求距离；
　　第二是已知甲、乙的速度和距离，求相遇的时间；
　　第三是已知距离，相遇时间和甲（或者乙）速度，求乙（或者甲）速度。
　　例 1 一辆客车与一辆货车同时从甲、乙两个城市相对开出，客车每小时行46千米，货车每小时行48千米。3.5小时两车相遇。甲、乙两个城市的路程是多少千米？
　　[解]46×3.5+48×3.5
　　=161+168
　　=329（千米）。
　　或（46+48）×3.5
　　=94×3.5
　　=329（千米）。
　　答：甲、乙两个城市的路程有329千米。
　　[常见错误]
　　46×3.5+48
　　=161+48
　　=209（千米）。
　　答：甲、乙两个城市的路程有209千米。
　　[分析]
　　这是一道相遇问题的基本题，错解中由于审题不严密，误认为只有客车行了3.5小时，货车行了48千米，两车就相遇了，因而产生了错误。如果首先理解甲、乙两城的路程就是客车与货车所行路程的和，然后分别求各自的速度与行驶的时间，就不会出现错误了。
　　例 2 两地间的路程有255千米，两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行45千米，乙车每小时行40千米。甲、乙两车相遇时，各行了多少千米？
　　[解]255÷（45+40）
　　=255÷85
　　=3（小时）。
　　45×3=135（千米）。
　　40×3=120（千米）。
　　答：相遇时甲车行了135千米，乙车行了120千米。
　　[常见错误]
　　（1）255÷（45+40）
　　=255÷85
　　=3（小时）。45×3=135（千米）。
　　答：相遇时各行了135千米。
　　（2）255÷（45+40）
　　=255÷85
　　=3（小时）。
　　40×3=120（千米）。
　　45×3=135（千米）。
　　答：相遇时甲车行了120千米，乙车行了135千米。
　　[分析]
　　解题不完整，答非所问，这是应用题解答经常出现的一种错误，特别是对于粗心大意的学生来说，更是如此。防止粗心大意的办法是要养成检验的良好习惯。
　　例 3 两地相距3300米，甲、乙二人同时从两地相对而行，甲每分钟行82米，乙每分钟行83米，已经行了15分钟，还要行多少分钟两人可以相遇？
　　[解][3300-（82+83）×15]÷（82+83）
　　=[3300-165×15]÷165
　　=[3300-2475]÷165
　　=825÷165=5（分钟）。
　　答：还要5分钟两人可以相遇。
　　[常见错误]
　　（1）（82+83）×15÷（82+83）
　　=165×15÷165
　　=2475÷165
　　=15（分钟）。
　　答：还要15分钟两人可以相遇。
　　（2）[3300-（82+85）×15]÷82
　　=[3300-165×15]÷82
　　=[3300-2475]÷82
　　=825÷82
　　≈10.1（分钟）。
　　答：还要行10.1分钟两人可以相遇。
　　[分析]
　　这是一道较复杂的相遇问题，错解（1）没有求出还剩下的路程，错解（2）将剩下的路程由甲一人行走，所以两种解法都错了。防止错误的主要办法是需认真审题，理解题中已经行了多少米，还剩下多少米，剩下的路程由甲、乙两人相对行走，还要多少分钟等等。这样，用剩下的路程除以甲、乙两人的速度和，就得出还要多少分钟两人相遇。
　　例 4 甲、乙两港的航程有480千米，上午10点一艘货船从甲港开往乙港，下午2点一艘客船从乙港开往甲港。客船开出12小时与货船相遇。已知货船每小时行15千米，客船每小时行多少千米？
　　[解]（480-15×4）÷12-15
　　=（480-60）÷12-15
　　=420÷12-15
　　=35-15
　　=20（千米）。
　　答：客船每小时行20千米。
　　[常见错误]
　　（1）480÷12-15
　　=40-15=25（千米）。
　　答：客船每小时行25千米。
　　（2）（480-15×4）÷12
　　=（480-60）÷12
　　=420÷12
　　=35（千米）。
　　答：客船每小时行35千米。
　　[分析]
　　这道题中的数量关系较为复杂，解题时稍不留意就出错。错解（1）是套用公式，没有注意到“货船先行了4小时客船才开出”这个条件。错解（2）求出的是客、货两船的速度和。解答较复杂的应用题一定要养成认真审题的习惯，行程问题给出线段图将有助于理解题意与选择解法。