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数学趣味游戏:n3+11n 必能被6 整除

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论坛元老

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发表于 2016-8-13 13:19:12 | 显示全部楼层 |阅读模式

          
          

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      12
                                   
              小朋友,你一定很关心中国科大少年班的同学们,很想知道他们做些什么数学题目吧。我们现在介绍一道少年班的试题,你也来试试看吧。
           
              题目:如果n是自然数,n3+11n必能被6整除。
           
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    发表于 2016-8-13 14:05:19 | 显示全部楼层

           
              
              

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      12
                                   
           
              32n3+11n必能被6整除
           
              n3+11n=n3-n+12n
           
              =n(n2-1)+12n
           
              =(n-1)·n·(n+1)+12n
           
              上式中,12n是6的整倍数,只要考察(n-1)·n·(n+1)是不是6的整倍数就行了。
           
              我们知道n-1,n和n+1是三个连续自然数。而任何三个连续自然数中,至少有一个是偶数;任何三个连续自然数中,必定有一个是3的倍数,或说“可被3整除”。
           
              所以三个连续自然数的乘积可被2与3整除,也可被6整除。12n是可被6整除的。所以n3+11n也必可被6整除。
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