如果我们更老练一些,用两只手同时计数的话,我们就可以把它写成HHHHH。
如果这时同时又光着脚,把脚趾头也派上用场的话,我们又可以把数分成以二十为一组了。
你可能会说,这样还是麻烦,干脆把这成组的数再用一个新的记号来表示不就简单许多了嘛!
一点不错,咱们与老祖宗们想到一块了。而这正是进位制的开始!
古罗马人创造的符号有点像逢五进一,不过也有整十整百的符号:
Ⅰ=“1” Ⅱ=“2” Ⅲ=“3”
V=“5” L=“100” D=“500”
X=“10” C=“100” M=“1000”
记数时,采用的是加法和减法法则:即数值较小的符号位于数值较大的符号后头时,则两数相加;反之,则数值相减。比如:“VⅡ”表示“五加二”,即“七”;而“IV”则“五减一”,也就是“四”了。
这样,1988用罗马符号表示就是:
M C M L X X X V Ⅲ
你看,识数捎带着连加减法一块儿练了,实在太费神,如果眼睛不济再加上脑袋犯迷糊,就得全乱套。
比起罗马人来,尼罗河畔的古埃及就要先进了!比如“3224”,他们是
这么写的:
■
想必大家也能破释这其中的密码:
头一个符号,代表一千,其实这是一朵莲花。
第二个符号,表示一百,这是一圈绳子。
∩,自然是十,它画的是一副脚镣。
后面的四根竖线当然就更一目了然了。
不过,埃及当时是从右到左写的,而我们这里是按照现在的习惯从左到右了。
这已经是相当方便,相当不容易了。但更值得自豪的是我们中国人的创造!早在四千年前,我国刚刚进入奴隶社会时期,就出现了相当完善的十进制记数系统。在殷商时期的甲骨文中,便有从1到10的文字表示,以及“百”、“千”、“万”等相应的符号:
这最后三个字,与现在的“百”、“千”、“万”的书写已十分接近了。
而且那“万”字是一只蝎子,想必那时这种小爬虫多得很。
甲骨上有着不少数字记录。比如,有一片甲骨刻着“八日辛亥允戈伐二千六百五十六人”,意思是说在八日辛亥那天的一场战争中,消灭了敌方2656人。
像这样的资料甲骨文中还有许多,可以说已经达到当时的最高水平,领导世界新潮流。
不要把这当作笑谈,大家仔细把前面刚说过的埃及记数法看看,自然是能够明白。
在古埃及人那里,“三千”要用三朵莲花表示;两百呢,就用两圈绳子表示。多麻烦!
中国的就不一样了,有多少个“千”、“百”、“十”,就在这些单位的前面写上多少,多简单,多方便,多聪明!
再说,“二千六百五十六”,这里的“千”、“百”、“十”都是按从大到小的顺序一溜排开,咱们就是把这些都省了,写成“二六五六”,不也
是一样知道是多大嘛!古人有时也多是这么写的。只不过那些老前辈们都是竖排写字写惯了,把“二六五六”这么一竖起来,就有点不太好认了。也难怪,咱老祖宗从一开始就用竹简写书写惯了,那竹简只能是竖排。
回头咱们再说说这“二六五六”。
11
你仔细瞅瞅,这和现如今的记数方法是不是一码事?只不过现在用的是阿拉伯数字罢了。
这现在的记数方法可真算是先进,是记数这方面的一大发明。先进在什么地方呢?第一点,它只用了十个符号。这第二呢,就是有了数位的概念,比如说同一个3,写在百位上和写在千位上,意义就不一样:一个是“三百”,一个是“三千”。
这么个聪明的办法现在就叫做位值记数法。
话说到这会,有些朋友可能心里还有些不踏实,总觉咱们的古人在记数时中间还要夹上一些“万”、“千”、“百”这些单位,和现在记数法毕竟不太一样。
大家放心,待往下细细一看,便知这发明位值记数法的冠军宝座,稳稳是咱中国人坐的。
且说秦始皇一统天下,倒是忙了不少事:书同文,车同轨,修长城,统一度量衡。忙得心烦意乱,就想出都城到处转转。于是就浩浩荡荡排起仪仗顺着当时的高速公路——那时叫驿道——一路游去。
这一天来到东海之滨,始皇帝初观沧海,不免大放豪迈之情,手舞足蹈,一不留神把腰里佩带的算袋失落水中。算袋就变成了乌贼鱼,所以乌贼又有算袋鱼之称。
你可知,这算袋有何用处?内装何物?
原来这算袋是一只丝质的小口袋,里面装的是算筹。
这“算筹”是些什么物件?秦始皇为什么时时要把它带在身边?其实看看这两个字的结构就能猜出个大概了。
筹,是竹字头,就是一般粗细、一般长短的小竹棍。黄河流域一带当时是茂林修竹,竹子多得很,所以我们的祖先写字用竹简,吃饭用竹筷——古时叫“箸”,又是竹字头。
那么,这算筹又是干什么用的呢?就是用来计算的。那时没有纸张,古人们就用这些小竹棍摆成不同的行列,表示不同的数,进行计算。
《说文解字》中有这样的话:“筭长六寸,计历数者,从竹,从弄。言常弄乃不误也。”
这“筭”,是算的古代写法,竹字头,下面一个弄字。弄,就是运算,你看,多像把一些算筹摆在地上进行计算的情况。
算筹起源于周朝,后来运用了很长时间。所谓“决胜千里之外,运筹帷幄之间”,就更有了计划、指挥的意思啦!直到现在咱们还常说“请仔细筹划一番”,这根源就都起于算筹。
这算筹起先是用竹子做成,《汉书》上说长六寸,径一分。古时候尺小一些,大约合现在14厘米左右。后来看看不行了,摆一个算式要用好大面积,就逐渐缩短了。这形状呢,也有了改变。一开始是圆柱状的,会乱滚,后来就有了方的,三棱形的等等。算筹的材料也来了个百花齐放,有骨制的,木制的。不过,就是秦始皇,恐怕也不会用金做的。你想想,把那金做的沉甸甸的一大把放在算袋里,挂在腰上,多累人!
大家看到此处可能会小吃一惊:皇帝还要亲自计算?是的,那时不但搞天文历法的要用算筹,就是一般的文武大臣,腰里都佩着一个算袋。而且是法律规定,不佩不行。上朝的时候,皇上问你话,说不定要叫你把算筹拿出来,当面算算帐。那时的知识分子士大夫阶级,腰里佩个算袋,可是个时髦玩意儿。
要用筹来算,首先必须能用“筹”把数摆出来。一开始,是这么摆放的:
古人写字是从上到下,竖排。而这摆数,就是从左到右了。
那么现在摆一个l、2、3,看看如何:
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这一看,毛病就出来了。
几根竖放的棍子摆放在一起,数位与数位之间很容易搞乱。中间的间隔一乱,就难以说清是1、2、3,还是2、l、3,还是1、5……
怎么办呢?“山人自有妙计”。古人除了上面提到的摆法(叫纵式)以外,还有一种横式摆法:
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这样一来,就好办了,相邻数位纵横交错摆放。古人有这么个说法:“凡算之法,先识其位。一纵十横,百立千僵,千十相望,万百相当。”
就是说个位以纵式表示,十位以横划表示。百位是纵的(“立”),而千位则是横的(“僵”);这样,千位和十位看起来是相同的,万位和百位也是如此。
那么现在摆起来就不会乱了。比如,6614 这个四位数用算筹表示是:
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遇到某位数是零的时候,最早的方法是不放算筹,让它空位。比如86021,就这么摆:
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现在咱们可以很放心地说一句:这位值记数法咱中国人早就发明、早就用上了。这块金牌非我莫属。
这种位值记数再加上十进制,就叫做十进制的位值记数法。
说到进制,大家都还记得前边给大伙说过的五进制、二十进制。
五进制就是逢五进一,最初用得很广泛,直到现在,一些南美部落还是用手计数——“1,2,3,4,手,手和1”,等等。
而玛雅人则是以二十进制为计数原则。这恐怕是因为玛雅人鞋子发明得太晚了。不过,格陵兰人也有这种进制的痕迹:它们用“一个人”代表 20,“两个人”代表40。
其实,逢几进一里的这个“几”,除了一以外,随便什么自然数都成。这里面一要看当时的环境,二要看实际需要。这个话题很长。
上古时候中国野兽很多,黄河里面的水族,尤其千奇百怪无所不有。其中有一种类似河马的动物,身上有黑白相间的花纹,也常常随波上下。
有位智者伏羲氏,偶然在晴朗天气到河边观赏,看见这马上的花纹陆离斑驳,黑自分明,心中忽然有感。自从做了部族首领,常常为内政外交许多事操心,又无法记忆计算。用打绳子结来记事吧,也不够用了。他便模仿这兽身上的黑白长短条纹,创造了两种长短线条,互相配搭,成了八个不同样子的记号,用来代表一些事物,名为“八卦”。
后来黄河里这种兽绝迹不见了(恐怕是没划野生动物保护区),后人便认为马是不会生在河里,除非是龙马;马身上不会有花纹,除非背上驮了什么图。这就是所谓“河图”的来由。再传下去,就又有了洛水里出现的一只神龟,背负“洛书”,这就叫“河出图,洛出书,圣人则之”。也就是说圣人伏羲根据“河图洛书”,画成八卦,这就是《周易》(也就是《易经》)的来源。
《周易》的研究现在可是个大热门,感兴趣的人、赶热闹的人都不少。不过我们现在只单单说一说“八卦”的组成。
这古圣人认为,世上万事万物归根结蒂是由阴阳两种基本元素构成的,就把它们画成两种卦爻(念yáo),一阳一阴,阳爻为“——”,阴爻为“——”。
把阳爻和阴爻每次取两个排列,就成四象:
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八卦代表不同的八种基本自然物:乾为天,坤为地;巽为风,震为雷;坎为水,离为火;艮为山,兑为泽。
四对物质两两相对,相反相成,即所谓天地、风雷、水火、山泽,表示的符号也正好是相反的。
德国数学家莱布尼兹(1646—1716),几千年后看到八卦大吃一惊:想不到自家辛辛苦苦多少年创造出来的二进制,竟让中国人大大抢先一步!
为何有此一说呢?因为二进制就是“逢二进一”。十进制,“逢十进一”,只要用到0~9十个数码,所以“二进制”,就只要用0、1两个数码,多一个都不要。因为你要表示2,就需要在高一位上用“l”表示,逢二进一嘛。
比如说“二”,写成二进制数就是:10;“三”呢,就写成:11;“四”在二进制里就表示成100。
莱布尼茨老先生把“——”(阳爻)看作1,阴爻“——”当作0,这样一来,八卦就是二进制数了:
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二进制码:000 001 010 011 100 101 110 111
十进制码:0 1 2 3 4 5 6 7
后来周文王姬昌被有名的暴君纣王拘押在羑里地方,他倒不显得着急,而是用心研究起伏羲氏的卦来,演成六十四卦。这就是现在的《周易》。太史公所谓“文王厄而演周易”,就是讲周文王在羑里遭受困厄,反而成就了一番学问,发展八卦成六十四卦。相信朋友们现在也能依次写出这六十四个二进制数,再对照一下六十四卦,倒也不失为一件有趣的事。
这里我们想给大伙提供点帮助,看看如何写出一个二进制数。
比方说“二十七”这个数,因为它含有十三个二,再加上一个一,所以在“个”位上就可以写上“l”,而在上一位(右边第二位)就可以暂且写上“13”。
不过这“13”还要继续往前进,因为“13”比二大得多。所以我们看看“13”里有几个二,就向前进几(向右边第三位)。用除法一除,可以知道“13”里有六个二,还多一个一,这样第二位就写“1”,而第三位可暂时写上“6”。
下面对“6”就可以如法炮制了。用算式表示可以看得更清楚:
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最后一次除,商是1,不能再被2除了,所以最高位就是“1”(即第五位,从右数)。其余各位依次取余数。
这样“二十七”写成二进制数就是11011。
大家可以看到,这办法的主要原则就是不断除以二,叫做“除二取余”。
而且我们也能清楚,这二进制各个数位的单位依次是:
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二进制数位的单位弄清楚了,把二进制数化成十进制数也就容易了。不过,同一个数,用二进制表示就长得多了。比方上面所说的“二十七”,用十进制表示是两位,用二进制表示就是五位。而且数越大,位数增加得越快。
所以在17世纪莱布尼茨老先生那会儿,这二进制倒未见得有什么风光。一直到本世纪中间,这二进制忽然大红大紫,风头十足,原因何在呢?说起来很简单,也只是时势二字罢了。
原来在20世纪中叶,发生了一场轰轰烈烈、至今仍方兴未艾的大革命:计算机革命。
这计算机中的逻辑电路都是由开关型的电子器件构成,它们只有两种状态:“开”和“关”。
这样的两种状态的器件一是比较可靠,二是实现比较容易。所以我们就用“开”表示“l”,用“关”表示“0”,其他数码就不能表示了,这样就必须用二进制记数法来表示数。
再者,咱们通常进行逻辑推理,常喜欢说:“‘是’就是‘是’,‘非’就是‘非”’。也就是在下判断的时候,对就是对,错就是错,没什么含糊。这就是所谓“二值逻辑”。“对”,可以用“1”来表示;“错”,可以用“0”表示。许许多多的命题以及命题之间的关系,都能用一个数学式子和数学式子的演算来实现,而这些演算都是用二进制记数的。
因此,电脑在本世纪40年代的发明,必然使二进制风云一时。
话说到这会儿,这二进制咱们聊得也差不多了。不过,有时它还是使人有些不习惯,不明白。其实,这二进制不但老早中国就有,现在全球风行,就是澳洲的一些原始部落里还从古到今一直用到现在呢!
兴许是识数太少的原由,所以澳洲东部昆士兰的土人是这么计数的:“1,2,2 和 1,两个 2,多多。”您瞧,这不就是用了“逢二进一”吗?只不过数到4就停下来了。
阿根廷火地岛的一个部落,用的是所谓“逢三进一”,三进制;而南美的一些部落则是用四进制。
这里的“二”、“三”、“四”,我们就把它叫做计数的“基”。
前面谈过五进制,它的基就是五。是古代用得很广泛的记数法。而现在最常用的十进制,基就是十了。
也难怪,谁让咱们人类都长着五个手指头呢?要是女蜗造人多捏了一个手指头,现在流行的可就不是十进制了。
还有一种大家都知道一点的,就是以12为计数的基。
咱们都了解,一打(dozen)是12个,一箩(gross)是12打。这些都是英国人常用的。古代的一英磅是12 盎斯,1先令是 12便士,1 英寸是 12英分,l英尺是12英寸。
这也许是由于一年大约有12个朔望月;也可能是因为12能被许多整数整除。
二十进制就是20为基的记数法,曾被广泛应用,它使人想起人类的赤脚时代。这种记数法,曾由美洲印第安人使用过,在高度发达的玛雅文化中更有完整的表现。
就是在欧洲各国的语言中,也能发现这种进位制的痕迹。法语中常用四个20代替 80,用四个20 加10 代替90;格陵兰人则用“一个人”代表 20,“两个人”代表40,英国人也常常用csore(20)这个字。
而以巴比伦古代那会儿,就是以六十进位制为主了。直到现在,咱们计算时间,计算角度,也还是这么用着。
咱们中国虽然是以十进制为主流,不过也还有其他的一些。比如,咱们古代记时辰,也是分一天为12个时辰。
这记时用的12个字分别就是:
子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。
这十二个字就叫“地支”。
夜里11点到1点,就叫子时,每个时辰合现在两个小时。依次类推,就能出丑时、寅时、卯时等等。哪位同学有兴趣,也不妨算一算,自己是何“时”出生的。
亥时一过,新的一天又开始了,就又是新子时。这 12个字循环往复,轮回使用,正反映了一种周而复始的现象,一种周期性的运动。
不过,它也可以看作是“逢十二进一”,是一种十二进制记数法。可能有人会说,这“逢十二进一”,进的那高一位的“数”在哪呢?
这里给大家打个比方。比如说有一块自动日历表,那么每到夜里12点(也就是“子夜”)就会咔嚓一声,日历框里换了个新的日子。而时间呢,依然是从0点开始重新往前去。您看,这新的一天不就等于往前进的一位吗?
不过我国古代最早是把一日分为百刻,是用十干来记时。后来才把一日分为12辰,用地支(12支)来表示。
十干,也就是平常所说的天干,一共有10个字:甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸。魏晋时还有“甲夜、乙夜、丙夜、丁夜、戊夜”的说法,就相当于后世的一更、二更、三更、四更、五更。这就说明了记时是用过天干的,因为一日百刻,甩十干比较方便。
那么记日又怎么办呢?早在夏代,就用甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸这10个字来记日。
不过,大家也可以看出来,这种词法十天一轮换,太短,容易把日子弄混了。
后来,人们就想了个办法,把天干的10个和地支的12个字配合起来,依次组合,比如“甲子”,“乙丑”,“丙寅”,“丁卯”,等等。
有心人动手亲自这么一搭配,就会发现点小问题:
天干只有10宇,而地支有12个字,等到天干的最后一个字“癸”和地支中的第10个字“酉”搭配成“癸酉”后,天干的10个字已经用完了,地支还余两个字“戍”,“亥”。
怎么办呢?就把天干10个字依次重新再使用,配合成“甲戌”,“乙亥”,“丙子”,“丁丑”,等等。以后不管是“干”,还是“支”,用到最后一个字了,就都这么从头循环使用。
那么,这么一搭配,会出现多少个不同的情况呢?什么时候再出现一开头的“甲子”呢?
这个问题倒也不复杂,是个求最小公倍数的问题:10 和 12 的最小公倍数是60。
因此,上面的正确答案就是60,共能配合成六十组,循环使用,就叫做“六十甲子”。
这种干支搭配最早是用来记日的,殷商武乙时期(约公元前13世纪)的一块牛胛骨上,就刻有完整的六十甲子。
后来到了东汉建武三十年(公元54年),就开始用来记年了。直到现在,咱们中国的日历上,还有这种记年方法。这记年,也是60年一轮换,所以叫“六十花甲子”。因此,如果一个人一辈子遇到两个甲子年,或者是其他两个相同名称的农历记年,那他肯定超过了六十花甲。
不用我说,大伙也明白,这六十次一轮回,当然也可以看作是“六十进位制”。
所以,我国的记数方法是既很先进,又很丰富。既有占有主导地位、在全球发明最早的十进制位值记数法,又有沿用至今的“二进制”、“十二进制”、“六十进制”等等其他记数法。真可谓源远而流长,历久而弥新。
这盘古开天地,天高地厚的答案,古人总算给了我们一个交代。顺理成章,老祖宗随后自然而然要问天,问地,问自己,这天像什么物体?地是什么形状?
让咱们看看周公和商高的一席话,便知究竟。
这周公是周武王之弟,名旦,是一位很有本事、很有贤德的人。武王死后,其子尚小,就由周公摄政,主持一切。
周公旦礼贤下士,甚至于“一沐三握发,一饭三吐哺”。也就是说他勤于接待,洗发时三次握着头发停下来不洗,吃饭时三次吐出食物,急忙迎客,殷勤待土。这就是所谓“握发吐哺”的来历了。
话说这高商亦是当时的一位算学大家,“高级知识分子”。周公也经常和他讲论算学。这一天周公与商高又见了面,行一番“吐、握”之事,彼此按周礼躬让一阵,就开了讲。
周公很虚心地向商高请教:“我听说,大夫很精通数的艺术。是不是请您谈谈,古代伏羲是怎样确定天球的度数的?天是没有一种梯子能登攀得上的,地也无法用尺子来测量。因此我很想问问您,这些数字是从哪里来的?”
商高施了一礼,回答说:“数的艺术是从圆形和方形开始的。圆形出自方形,而方形则是用矩(带边的丁字尺)作出来的。而矩的制作出于‘九九’乘法表。一个矩形沿对角线对折起来,如果勾长三单位,股长四单位,那么弦长一定是五单位。昔日大禹治水,就是用这样一些方法。”
周公听了很感叹,又接着说道:“数这门艺术真是了不起啊!我想再请教应用矩的道理。”
这里的矩,是一种工具,所谓“不以规矩,不成方圆”,有点像现在的丁字尺。
商高一听到这话题,更来了劲,不由得侃侃道来:
“把矩平放在地上,可以用绳子设计出平直的和方形的工程。把矩竖立起来,可以测量高度。倒立的矩可用来测量深浅,而平放的矩则可用测出距离。
“让矩旋转,可以画出圆形;把几个矩合在一起,可以得到正方形和长方形。”
接着,他又谈到了天和地:
“方形属于地,而圆形则属于天,所以天是圆的,而地则是方的。方形的数是标准,从方形的数可以推出圆形的大小来。
“天像一个笠子。天的颜色是蓝的和黑的,地的颜色是黄的和红的。可以用一个按照天的数制成的圆盘来表示天,朝上的一面像外表面一样,是蓝色和黑色的;朝下的一面像内表面一样,是红色和黄色的。这就是天和地的形象再现出来了。”
商高随后又发表了一番议论:“对地有所了解的人是聪明人,而对天有所了解的人则是圣人。‘矩’和‘数’结合起来,就是指导和统治万物的东西。”
周公听得都入了迷,隔了好一会才回过神来,不由得感慨地说:“这确实是太妙了。”
这一段记在《骨髀算经》上的故事,大约已经有三千年左右了。这说明人们很早就认识了几何图形。最早认识的,就是正方形和圆形。而且在周朝以前,就有了车辆,所以当时不但认识了圆,而且能造出圆。
这商高确实了不起!他不但认识到勾三股四弦五,而且还是个天文学家,有了天圆地方、天像个笠子盖在地上这样一种初步认识。古代的许许多多数和形的知识就是从天文观察和测量中得来的;古时许多天文学家就是数学家,而数学家又同时是天文学家。
商高大夫还提到大禹的事。其实,太史公司马迁也说过,夏禹治水时,是“左准绳,右规矩”。
你瞧瞧,咱们这位禹王爷不但运筹帷幄、指挥策划,而且还是位高级水利工程师,左手拿着水准工具和绳子,右手带着规和矩去测量放线。真是事必躬亲,身体力行。
不过,战国的一位学者,把这规与矩的发明推得更早:“古者,倕为规、矩、准、绳,使天下仿焉。”
这“倕”,是传说中距今四千五百年黄帝时的能工巧匠。
不管怎么说,反正人们对这方面的认识是够早够远够先进的了。而所有这些发现、发明,也都是与生产的不断发展,文明的不断进步、一代一代人的不断继承紧密联系的。
比如说,20年前在湖北,发现了一批几十万年前的旧石器。其中的“石核”,就是经过人工打击而成的球状石器。古人正是从这样一些活动中,逐渐形成了几何观念。
而六七千年前古人所做的陶器,更有许多的类型,有尖底瓶、筒状的器皿、盘、大小不等的球、纺轮,等等。这说明那时已具有了圆、球、圆柱、圆台、同心圆等等几何观念。
读者如假日有空,倒真可以到西安半坡、山东大汶口这样一些遗址去看看,凭吊一番先民们的丰功伟绩,艺术修养。那陶器上的几何图案确实描画得简练生动,抽象概括,而且有着很好的对称美,倒不是今天的每一个人都能画出来做出来的。
咱们华夏的先民们在黄河两岸创造着这一切,那两河流域的巴比伦人和尼罗河畔的埃及人,也同样勤劳辛苦,发展着自己的文明。
且说埃及位于非洲东北部,东临红海,北濒地中海,西南是浩瀚无垠的撒哈拉大沙漠。如果不是尼罗河从北向南贯穿它的全境,埃及早就成了寸草不生的沙漠了。难怪古希腊历史学家希罗多德把埃及称为“尼罗河的赠礼”。
尼罗河是埃及人的生命源泉。他们靠耕种尼罗河每年泛滥的淤土所覆盖的田地谋生。肥沃的淤泥给他们带来了丰收,同时也需要他们要有丰富的天文知识,预报洪水到来的日期。
泛滥后的土地年年要重新划界,需要测量,需要计算,需要工具。这样,初步的几何认识就在劳动中产生了。
有关尼罗河的文明,人们知道得很早。在很长一段时期内,埃及一直是西方研究古代历史最丰富的宝库。
说起这其中的原因,倒有点是歪打正着。埃及的法老们生前为了扬威,修建了不少庙宇;死了以后呢,更是大造坟墓,这就给后世留下了许多极其丰富多彩的壁画和雕刻。
再说,尼罗河两岸气候异常干燥,他们留下来的许多纸草片,也就不会腐烂。要知道,这纸草片可就是那古埃及人的百科全书,记下了他们的文明和创造呢!
古埃及人的纸草片就这样留传下来。而西方人也一直认为那里的数学起源最早,最先进。一直到上个世纪,考古学家们在两河流域挖出了五十万块刻着文字的粘土书板,这才大吃一惊,想不到巴比伦人的数字,水平更高,也更独特。
这正所谓:山外有山,天外有天。
欲知后事如何,且听下回分解。
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