“±1”的妙用

小学教育网

          
          

       
  12
                               
       
                 
       
                　　桌上放着8只茶杯。全部杯口朝上，每次翻转其中的4只，只要翻转两次，就把它们全都翻成杯口朝下。
               
                　　如果将问题中的8只改为6只，每次仍然翻转其中的4只，能否经过若干次翻转把它们全部翻成杯口朝下？
               
                　　请动手试验一下这时你会发现经过三次翻转就达目的。说明如下：
               
                　　用±1表示杯口朝上，-1表示杯口朝下，这三次翻转过程可以简单地表示如下
               
                　　初始状态   +l，+l，+l，+l，+l，+l
               
                　　第一次翻转 -1，-1，-1，-l，+l，+1
               
                　　第二次翻转 +1，+1，+1，+1，-1，-1
               
                　　第三次翻转 -l，-l，-1，-l，-l，-1
               
                　　如果再将问题中的8只改为7只，能否经过若干次翻转（每次4只）把它们全部翻成杯口朝下？
               
                　　几经试验，你将发现，无法把它们全部翻成杯口朝下。
               
                　　是你的“翻转”能力差，还是根本无法完成？
               
                　　“±1”将告诉你：不管你翻转多少次，总是无法使这7只杯口朝下。
               
                　　道理很简单。用±1表示杯口朝上，-1表示杯口朝下，问题就变成：“把7个±1每次改变其中4个的符号，若干次后能否把它们都变成-1？”考虑这7个数的乘积，由于每次都改变4个数的符号，所以它们的乘积永远不变（即永为+1），而全部杯口朝下时7个数的乘积等于-1，这是不可能的。
               
                　　道理竟是如此简单，证明竟是如此巧妙，这要归功于“±l”语言。
               
                　　中国象棋中的马走日字，在对弈时你发现下面这种现象没有？──
               
                　　马自某个位置跳起，如果再想回到原来位置，一定经过偶次步。
               
                　　±1语言也可帮你证明这个结果：
               
                　　象棋盘共有9×10=90个位置，相邻位置用符号不同的数（+l与-1）来表示（图中所有实心圆点位置用+l表示，
       
       
                余者用-l表示），那么象棋马从任何一个位置，每走一步就要改变符号。就是说，棋子马要想不变符号，必须走偶步。而马自某个位置跳起，再回到原来位置，符号不变，故得结论：马自某个位置跳起，如果再想回到原来位置，一定经过偶次步。