2011年“华杯赛”复赛小学组试题及详解

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        　　2011年“华杯赛”复赛小学组试题及详解
        　　
       

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        答案见下一页

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        　　1. 原式=(2+4+6+8)-(1/2+1/4+1/6+1/8)=20-(1+1/24)=18+23/24。
        　　2. 8个人用30天完成了工程的1/3，那么8个人完成剩余工程(2/3)应该用60天，
        　　增加4个人变成12个，应该用60÷12×8=40天，共用70天。
        　　3. 甲乙的速度比为6:5，乙提速后的速度为5×1.6=8份。假设乙耽误的时间也在
        　　以5的速度前进，则乙总共可以前进全程的7/6。也就是说相当于乙在用甲的速度
        　　的5/6和8/6两种速度来骑甲的7/6的路程，根据十字相乘法，两种速度所用的时间
        　　之比为1:2。也就是说，乙用5/6的速度行驶了5/6×1/3=5/18的路程，那么全程的
        　　5/18-1/6=1/9就是5千米，全程45千米。
        　　4. 因为35分20秒比一小时的3/5(36分钟)小一点，所以时针没有超过9后面的第
        　　三个刻度线(即48分的刻度线);而分针在35分和36分之间。因此，两针所夹的
        　　锐角内有36分~47分的刻度线，共47-36+1=12条。
        　　5. △FAB是等边三角形，所以弧AF是六分之一圆，同理弧GC也是六分之一圆，则
        　　弧GF是1/6+1/6-1/4=1/12圆，四条弧是1/3圆，长度为2×π×1÷3=2.094。
        　　6. 每种先都减去1本，剩余40-2-5-11=22元。
        　　如果再买2本11元的，恰好用完，1种方法;
        　　如果再买1本11元的，剩余11元，可以买1本5元和3本2元，1种方法;
        　　如果不再买11元的，22元最多买4本5元的，5元的本数可以是4，2，0，3种方法。
        　　共有1+1+3=5种方法。
        　　7. 该几何体是一个四棱锥，底面积为20×20=400，高为20，所以体积为
        　　400×20÷3=8000/3(立方厘米)。
        　　8. 大于11的质数13，17，19都只能作为分母为1的数的分母，如果它们作为同一
        　　个分数的分子和分母，则剩余的10个可以都是整数。下面举例说明可以只有一个
        　　不是整数：
        　　13/1 22/11 20/10 18/9 16/8 14/7 15/5 21/3 4/2 12/6 19/17
        　　共9个是整数。
        　　9. 本题很类似另一个长方形和正方形的题。长方形的面积等于△ADF的2倍，如果
        　　能说明梯形的面积也等于△ADF的2倍，则梯形的面积也等于2011平方厘米。
        　　过D作DH∥AF交FG于H，把△DGH剪下来，DG边和DE边拼起来，因为∠E和∠G加起来
        　　等于180°，所以可以拼成一个平行四边形，它和△ADF同底(AF)同高，所以面
        　　积是△ADF的2倍。
        　　10. 如果坏的两根就是本来不亮的，是351;
        　　如果只有百位的不是3，则百位最多坏两根，可能是951或851;
        　　如果只有十位的不是5，则十位最多坏两根，可能是361，391或381;
        　　如果只有个位的不是1，则个位最多坏两根，可能是357或354;
        　　如果百位十位都是错的，则这两位各坏一根，可能是961或991;
        　　如果百位个位都是错的，则这两位各坏一根，可能是957;
        　　如果十位个位都是错的，则这两位各坏一根，可能是367或397。
        　　综上所述，可能是351，354，357，361，367，381，391，397，851，951，957，
        　　961，991。共13种可能性。
        　　11. 星期数相同且奇偶性相同，则相差14天。
        　　如果是1号，15号，29号是星期日，则20号是星期五;
        　　如果是3号，17号，31号是星期日，则20号是星期三;
        　　一个月最多31天，所以不能再往下讨论了。
        　　12. 这个加法算式中，从第一个大于0的项开始，依次有15个1，15个2，……
        　　如果15(1+2+3+...+n)>2011，则1+2+3+...+n至少为135，也就是说n(n+1)至少为
        　　270，n至少为16。
        　　15(1+2+3+...+16)=2040，减去一个16为2024，仍大于2011，再减去一个16为2008，
        　　小于2011了。所以最多减去一个16，还有14个16，n至少为15×16+14-1=253。
        　　13. 显然华=1。根据弃九法，5不能出现。则0+1+2+3+4+6+7+8+9=40，2+0+1+1=4，
        　　减少了36=4×9，所以共进4位。百位肯定向千位进1位，下面就十位和个位的进位
        　　情况讨论：
        　　如果十位向百位进2，个位向十位进1，则百位数字之和为8，十位数字之和为20，
        　　个位数字之和为11。剩余的数字0，2，3，4，6，7，8，9可能的分组方法如下：
        　　(0+8)，(4+7+9)，(2+3+6);(2+6)，(3+8+9)，(0+4+7);(2+6)，(4+7+9)，(0+3+8)。
        　　注意0不能放在首位，所以共有1×6×6+2×6×6+2×6×6=180种。
        　　如果十位向百位进1，个位向十位进2，则百位数字之和为9，十位数字之和为9，
        　　个位数字之和为21。剩余的数字0，2，3，4，6，7，8，9可能的分组方法如下：
        　　(0+9)，(2+3+4)，(6+7+8);(2+7)，(0+3+6)，(4+8+9);(3+6)，(0+2+7)，(4+8+9)。
        　　注意0不能放在首位，所以共有1×6×6+2×4×6+2×4×6=132种。
        　　综上所述，共180+132=312种。
        　　14. 根据奇偶性，如果蜘蛛和爬虫都不停移动，则蜘蛛有可能永远抓不住爬虫。
        　　那么，两只蜘蛛一开始的时候应该选择不懂。根据对称性，不妨设爬虫第一步移
        　　动到了F。
        　　⑴如果蜘蛛预知爬虫下一步移动到E或B，则蜘蛛也朝着该棱移动就行了。
        　　⑵如果蜘蛛预知爬虫下一步移动到G，则一只移动到E，一只移动到B。无论爬虫下
        　　一步移动到F，H，C中的哪个，总有一只蜘蛛可以移动到相应的顶点，爬虫就自投
        　　罗网了。