第二届走进数学王国邀请赛决赛试卷及答案详解

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        第二届走进数学王国邀请赛复赛试卷及答案详解
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        　　一、填空题（每题6分，一共72分）
        　　1、已知“数”“学”“王”“国”四个汉字分别代表从小到大的四个连续的自然数，且1/数+1/学+1/王+1/国=19/20那么：求1/数÷1/学—1/王×1/国=（）
        　　2、今天是2008年12月28日，星期六，同时还知道这个月所有的星期六的所在日子的日期的和是66，请问2009年同样的这个月的所有星期六的日期的和是多少？
        　　3、李老师用一根长度为27厘米的铁丝，围成一个三角形，已知三角形的三边的长是3个不同的质数，请问这个三角形最短边和最长边的差是（）
        　　4、小强和小刚两个同学在一个环形跑道上跑步，他们从同一个起点朝着同一个方向跑步，其中小强的速度是小刚速度的2.5倍，而且还知道当小强第一次追上小刚是，小刚已经跑了240米的路程。请问环形跑道多长？
        　　5、小红和小兰都有一些画片，数量各自都不超过50张。其中，小红对小兰说：“如果你给我一些数量的画片，那么我的画片数量就是你的3倍。”同时，小兰也对小红说：“如果我给你同样多的画片，那么你给画片就是我的4倍。”请问，小红原来有多少张画片？
        　　6、下图中有许多不同的长方形。其中包含“走进数学王国”六个汉字的长方形有多少个？

		走	进
	数	学	王	国

        　　7、小明给猴子分香蕉，如果第一只猴子分1根，第二只猴子分2根，第三只猴子分3根……依次类推，后面每个猴子都比前面1个猴子多分得1根香蕉。如果进行平均分配，这些香蕉分给这些猴子，每只猴子均可得5根香蕉。请问小明白一共为这些猴子准备了多少根香蕉？
        　　8、一艘轮船上卸下若干台的机器，已经知道这些机器重量的总和是19吨，而且每台机器的重量都不超过1吨。如果要用载重量是3吨的汽车去托运回来，请问，至少要派多少辆汽车去托运，才能保证一次地托运回来？
        　　9、一个正六边形被分成六个相等的三角形。如果只用红、黄两种颜色给其中的三角形涂颜色（其中旋转变成一样的涂法算一种），请问一共有多少种涂法？
        　　10、小华用一些小正方形摆成了一个图形，这个图形从左边，正面，上面看得到的图形样子都不一样。请问，至少需要多少这样小正方形？
        　　11、甲乙两个人一起玩扑克游戏，其中已知的是：
        　　（1）桌面上放着8张打乱顺序的扑克牌，从左边到右边分别为黑桃2、红桃2、梅花2、方块2、黑桃10、红桃10、梅花10、方块10。
        　　（2）从中任意挑选出两张牌，如果点数相等，那么算甲胜利。如果点数不相等，那么就算乙胜利。
        　　请问，如果你是甲，你获得胜利的可能性是几分之几？
        　　12、王师傅用两块同样大小的正方形木版和四块同样大小的长方形木版做成了一个小木箱。同时，已经知道这个箱子的表面积是2000平方厘米，求这个小木箱的容积最大是（ ）立方厘米，木板的厚度忽略不记。（同时，长宽高都是整厘米数）
        　　二、解答题（每题8分，共48分）
        　　1、某班投票选举班长，其中规定每人只能投一张票，班长候选人小华、小红和小明三人，中途统计投票情况是：小华得到了13张选票、小明得到10张选票、小明白得到了7张选票。请问，规定得票最多的人当选班长，如果要确保小明白当选，那么小明至少要再得到多少张选票？
        　　2、小华和小丽做猜硬币游戏，其中瓶子里装的都是1元、5角、1角的硬币，其间，小华从瓶子里拿出18枚硬币，一共面值11元，我们还知道其中的5角和1角的硬币枚数是相等的。请问小华取出的1元硬币有多少枚？
        　　3、面包房的面包降价出售，每个面包降价0.5元。我们知道，降价以后卖出的面包数量增加了1/2，收入增加了1/8，请问，每个面包原价多少元？
        　　4、某商店正在进行商品促销活动。优惠为：凡购买商品的总额超过500元的，超出部分按八折计算。已知张老师和王老师一起去该商店购物，张老师买了一台800元的洗衣机，王老师买了一件200元的衣服，请问张老师和王老师一起合着购买比分开购买可节约多少钱？
        　　5、如图，直角三角形的斜边分成2部分，AD=15厘米，DC=20厘米，里面有一个内接的正方形，图中两个三角形为涂色的，请问涂色部分的总面积为多少平方厘米？
        　　6、小花猫和小狗是一对好朋友。它们分别从A、B两地面对面地出发。如果是同时出发，则它们在A点与中点之间的C处相遇；如果让小花猫先出发9分钟，那么它们就会在中点与B点之间的D处相遇。同时我们知道（1）C点D点离中点近些（2）中点和D点之间的距离为280米，请问：A、B两地之间的距离为多少米？

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        4不行，2345不行，3456好像可以，4567不行。所以检验一下3456，刚好代入合适，所以正确自然数为3、4、5、6。
        　　所以1/3除以1/4-1/5乘以1/6=13/10。正确答案为13/10。
        　　2、今天是2008年12月20日，星期六，同时还知道这个月所有的星期六的所在日子的日期的和是66，请问2009年同样的这个月的所有星期六的日期的和是多少？
        　　分析：12月是大月有31天，所以2008年12月份所有周六的日期为：27、20、13、6。那么从2008年12月20周六来计算2009年12月20日是星期几？365除以7=52、、、、、1所以2009年12月20日是周日。那么2009年12月19日才是周六。可以把2009年12月份所有周六的日期写出来：26、19、12、5
        　　加起来为26+19+12+5=62。正确答案为62。
        　　3、李老师用一根长度为27厘米的铁丝，围成一个三角形，已知三角形的三边的长是3个不同的质数，请问这个三角形最短边和最长边的差是（）
        　　分析：分析：依照题目的意思，三个质数的和是27，我们又知道三角形中的任何两条边的和大于第三条边，同时还是这2条边的差也要小于第三条边的长。所以这里，27/2=13.5可见，其中的最长的边必须比13.5要小，如果大于的话，那么这一条边就会比其他两边的和大，那么在这样情况下是无法构成三角形的。
        　　同时，我们要知道的是：三边都是质数，所以其中最大的边最多最多只能是13。
        　　很显然，不大于13的质数范围还是很小的，我们可以列举出来：
        　　2、3、5、7、11、13
        　　要使差最大：最好是最小的和最大的都在这个三角形里。这里2、13在一起时，2+11（11为剩下最大的边）=13显然2、13一起无法组成三角形。
        　　如果是2、11呢？检验2和谁搭配都不行。
        　　如果是3和13搭配呢，3+13大于11；13—3=10小于11，显然，这里3、13、11搭配最合适，13和3的差为10。
        　　正确答案为：10。

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        　　4、小强和小刚两个同学在一个环形跑道上跑步，他们从同一个起点朝着同一个方向跑步，其中小强的速度是小刚速度的2.5倍，而且还知道当小强第一次追上小刚是，小刚已经跑了240米的路程。请问环形跑道多长？
        　　分析：这个题目在小学行程问题中，应该说只要是奥数书，就会有很多的这样的题目。但是有不少的学生错误了。关键在于：1、粗心（其中就有这样的学生：小强速度是小刚的2倍，他们却理解为快了2倍）
        　　从同一个地方朝着一个方向跑，而且还是环行，那么第一次追上其中蕴涵的意思是说：小强比小刚多跑了一个环行的周长。
        　　同时，当时间一定时（两个人出发到第一追上时，两人跑步时间是相等的），速度与路程成正比。所以这里，当小刚跑了240米时，小强跑的就应该是小刚的240米的2.5倍=600米。
        　　而这个600米是指小强比小刚多跑了一个环行周长的路程。
        　　所以要求环行跑道多长就要用600—240=360米。我所辅导的有一个小孩把最后两个题目都做出来了，而这个题目却粗心大意地错了。实在不应该。
        　　正确答案：360米。
        　　5、小红和小兰都有一些画片，数量各自都不超过50张。其中，小红对小兰说：“如果你给我一些数量的画片，那么我的画片数量就是你的3倍。”同时，小兰也对小红说：“如果我给你同样多的画片，那么你给画片就是我的4倍。”请问，小红原来有多少张画片？
        　　分析：第一次是给了小兰给小红一定数量，小红的数量则是总数的4/5；
        　　第二次是小红给小兰相同数量，小红的数量则是总数的3/4.
        　　可见，小红占总数的分率或者叫比例从4/5降到了3/4，一共降低了1/20，原因再与第二次比第一次小红一共少拥有2x个数量。（这个假设相同数量为x）
        　　另外，我们利用数论的知识，从第一种情况知道总数为5的倍数，从第二种情况又知道是4的倍数，所有数量的总数应该是4和5的公倍数，最小公倍数为20.
        　　总数可能是20、40、80三种可能，之后的100以及更大的公倍数就不可能了，因为两者都不超过50.
        　　之前用单位1已经知道了总数应该是40x，这个x的值至少是1，所以数量总数应该是40或者是80
        　　我们就讨论一下
        　　1）当总数为40的时候，显然一个是31一个是9
        　　具体的是：第一种中小红有40乘以4/5=32个，第二种情况中小红有40乘以3/4=30，前后相差2即我们假设的2x，所以x=1，所以第一种中小红得到了1后变成了32，所以小红以前是31个，小兰是9个。
        　　2）当总数为80的时候，显然一个是62一个是18
        　　这个因为和题目中的两者都不超过50矛盾，所以只有
        　　31和9是成立的。
        　　所以正确答案为31张。

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        　　6、下图中有许多不同的长方形。其中包含“走进数学王国”六个汉字的长方形有多少个？
         

		走	进
	数	学	王	国

        　　分析：按照六个字所占行为2行、3行、4行进行分类计算
        　　具体为：
        　　1）两行时，只有一种情况。显然4个不同长方形。
        　　2）三行时，有两种情况。一共有8种不同长方形。
        　　3）四行时，只有一种情况，显然有4个不同长方形。
        　　所以一共有16个长方形。正确答案为16个长方形。
        　　7、小明给猴子分香蕉，如果第一只猴子分1根，第二只猴子分2根，第三只猴子分3根……依次类推，后面每个猴子都比前面1个猴子多分得1根香蕉。如果进行平均分配，这些香蕉分给这些猴子，每只猴子均可得5根香蕉。请问小明白一共为这些猴子准备了多少根香蕉？
        　　分析：（1）第一种方法：
        　　从第一个到后面的每个都是依次增加1，可以看出这是一个等差数列形式的。我们还知道在一个等差数列中，最前面一个加上最后一个除以2就可以得到两个数的平均数，我们第一个是1，显然最后一个是9的话，1+9=10，10再除以2就得5，所以我们想是不是9个猴子？第二个是2加上第八个是8=10，再除以2得到的也是5，所以确认9个猴子。
        　　香蕉的根数为：1+2+3+4+5+6+7+8+9=（1+9）×9÷2=45
        　　所以正确答案为：45
        　　（2）第二种方法：
        　　当然还有运用公式法：
        　　假设有N个猴子，那么地第N个猴子得到香蕉也是N根。
        　　依次为：1、2、3、4、5、6……N
        　　香蕉总数为：1+2+3+……N=（1+N）×N÷2
        　　题目告诉我们平均数为5根香蕉：（1+N）×N÷2÷N=5
        　　化简得到：（1+N）=10
        　　N=9
        　　也就是9只猴子
        　　所以后面的香蕉总数的计算就和前面的第一个方法是相同的了。

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        　　8、一艘轮船上卸下若干台的机器，已经知道这些机器重量的总和是19吨，而且每台机器的重量都不超过1吨。如果要用载重量是3吨的汽车去托运回来，请问，至少要派多少辆汽车去托运，才能保证一次地托运回来？
        　　分析：至少又要保证，是最不利情况。因为每个零件都不超过1吨，那么一个车子至少有可以运3个零件。要最不利情况，就应该是剩下的空间够运大但是又不够运一个零件的能力。所以运3个时，剩下的零件个数做多，同时剩下的空间也会最大。
        　　所以3吨应该略微小于4个零件的重量。每个零件大于3吨/4所以每个零件大于0.75吨。
        　　所以一共有19除以0.75=25又1/3个零件。每个车子3个，那么需要9辆车才能保证一次性拖回来。
        　　9、一个正六边形被分成六个相等的三角形。如果只用红、黄两种颜色给其中的三角形涂颜色（其中旋转变成一样的涂法算一种），请问一共有多少种涂法？
        　　分析：可以按照分了来求解。
        　　1）无红全黄
        　　2）1红5黄
        　　3）2红4黄
        　　4）3红3黄
        　　5）4红2黄
        　　6）5红1黄
        　　7）6红无黄
        　　一共七种情况讨论得到有14种不同的涂法。（分类可避免遗漏）
        　　10、小华用一些小正方形摆成了一个图形，这个图形从左边，正面，上面看得到的图形样子都不一样。请问，至少需要多少这样小正方形？
        　　分析：至少用了8个图形，仔细观察。

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        　　11、甲乙两个人一起玩扑克游戏，其中已知的是：
        　　（1）桌面上放着8张打乱顺序的扑克牌，从左边到右边分别为黑桃2、红桃2、梅花2、方块2、黑桃10、红桃10、梅花10、方块10。
        　　（2）从中任意挑选出两张牌，如果点数相等，那么算甲胜利。如果点数不相等，那么就算乙胜利。
        　　请问，如果你是甲，你获得胜利的可能性是几分之几？
        　　分析：从8张里面拿到2张，一共会有多少种不同拿法呢？
        　　8*7=56（种）
        　　那么拿出的点数相同只能是从4张2里面取得或者从4张10里面取得，所以一共有4*3*2=24（种）
        　　因为四种花色为：红杏梅方四色
        　　具体为：红2杏2、红2梅2、红2方2./杏2红2、杏2梅2、杏2方2/梅2红2、梅2杏2、梅2方2/方2红2、方2杏2、方2梅2、一共12种。同理从4张10里面选也有12种，一共24种。
        　　所以获胜的有24种可能，而总可能是56种，所以获胜可能性为24除以56=3/7.正确答案为3/7。
        　　12、王师傅用两块同样大小的正方形木版和四块同样大小的长方形木版做成了一个小木箱。同时，已经知道这个箱子的表面积是2000平方厘米？（同时，长宽高都是整厘米数）
        　　分析：因为有两个正方形木板，假设宽等于高。那么
        　　表面积=长*宽*4+宽*高*2=2000
        　　所以：长*宽*4+宽*高*2=2000其中宽和高一样大
        　　所以长*宽*4+宽*宽*2=2000
        　　等式两边都除以2得到
        　　长*宽*2+宽*宽=1000
        　　乘法结合律知：
        　　宽*（长*2+宽）=1000即把1000分成两个数相乘的形式
        　　又知道容积=长*宽*高=长*宽*宽。所以长和宽越接近则容积越大。所以宽=20高=20长=15时长宽高三者最为接近。
        　　所以长方体箱子的容积最大为20*20*15=6000立方厘米。
        　　正确答案为：6000立方厘米。

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        　　二、解答题（每题8分，共48分）
        　　1、某班48人投票选举班长，其中规定每人只能投一张票，班长候选人小华、小红和小明三人，中途统计投票情况是：小华得到了13张选票、小明得到10张选票、小明得到了7张选票。请问，规定得票最多的人当选班长，如果要确保小明白当选，那么小明至少要再得到多少张选票？
        　　分析：到此为止，已经投了30票了，同学们手里还有48-30=18票可以投。对于小明最不利情况为：剩下的18票是他和小华两人分了。那么首先小明要赶上小华，所以小明先必须得13-7=6票，之后还剩下12票，小明至少应该得到12票的一半多一点，那么就是7票了。所以小明现在开始至少还要得到13票才会胜利。
        　　正确答案为13票。
        　　2、小华和小丽做猜硬币游戏，其中瓶子里装的都是1元、5角、1角的硬币，其间，小华从瓶子里拿出18枚硬币，一共面值11元，我们还知道其中的5角和1角的硬币枚数是相等的。请问小华取出的1元硬币有多少枚？
        　　分析：假设都是1元的那么一共会有1*18=18元，比实际多了18-11=7元原因在于把实际的1角和5角的都看成了1元的。又知道1角和5角的数量一样，那么我们可以把一个1角和一个5角的看成一个整体一共2枚为一个整体，可以知道会有若干个这样的整体。一个1角一个5角绑在一起一共2枚才6角钱。
        　　把这2枚6角钱看成2枚2元的，会多计算2元-6角=14角，那么我们之前已经计算了多出了7元，所以一共有7元除以14角=5（个）这样的2枚的整体。所以1角和5角的一共有10枚。1元的有8枚。
        　　正确答案为8枚。
        　　3、某商店正在进行商品促销活动。优惠为：凡购买商品的总额超过500元的，超出部分按八折计算。已知张老师和王老师一起去该商店购物，张老师买了一台800元的洗衣机，王老师买了一件200元的衣服，请问张老师和王老师一起合着购买比分开购买可节约多少钱？
        　　分析：不管分开买还是合买，张老师都没有任何影响，因为张老师的800元中500元按原价计算，但是超过的300元按照8折计算，但是如果合买的话，这个王老师的200元也被纳入超过500元的范围是按照8折计算的，那么原本王老师需要出200元，现在只要出200*80%=160元，节约了200-160=40元的钱。
        　　当然这个是比较灵活的分析方法，也可以用死算的方法，把分买的钱数算出来，再把合买的钱数算出来，再进行比较。
        　　正确答案为：40元。

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