指数函数、对数函数解析

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指数函数、对数函数

一、计算： 例1.化简 (1) 095408_4c5b5f553ec2c13.gif 　 (2) 095408_4c5b5f553f7e213.gif (3) 095408_4c5b5f554039913.gif 解：(1)x的指数是 095408_4c5b5f5540f5013.gif 095408_4c5b5f5541b0613.gif 所以原式=1 (2)x的指数是 095408_4c5b5f55426bd13.gif 095408_4c5b5f554327313.gif =0 所以原式=1 (3)原式= 095408_4c5b5f5543e2913.gif 例2.若 095408_4c5b5f55449e113.gif ，求 095408_4c5b5f55455e013.gif 解：因为 095408_4c5b5f554615113.gif 　　　　　　 095408_4c5b5f5546c6e13.gif 所以f(x)+f(1-x)=1 = 095408_4c5b5f554782413.gif 例3.已知m,n为正整数，a>0,a¹1,且 095408_4c5b5f55483da13.gif 求m,n 解：左边= 095408_4c5b5f5548f9113.gif 　　　 095408_4c5b5f5549b4813.gif 原式为loga(m+n)=logamn 得m+n=mn即(m-1)(n-1)=1 因为m,nÎN，所以 095408_4c5b5f554a6fe13.gif 从而m=n=2 二、比较大小 例1.试比较 095408_4c5b5f554b2b513.gif 与 095408_4c5b5f554be6b13.gif 的大小 解：令121995=a>0则 ¸ = 095408_4c5b5f554ca2213.gif 所以 > 例2.已知函数f(x)=logax (a>0,a¹1,xÎR+)若x1,x2ÎR+,试比较 与 的大小 解：f(x1)+f(x2)=loga(x1x2) ∵x1,x2ÎR+,∴ (当且仅当x1=x2时，取“=”号)， 当a>1时，有 ，∴ 即 (当且仅当x1=x2时，取“=”号) 当a>1时，有 ，∴ 即 (当且仅当x1=x2时，取“=”号) 例3.已知y1= ，y2= ，当x为何值时 (1)y1=y2　　　　 (2)y1>y2　　　　 (3)y12 解：由指数函数y=3x为增函数知 (1)y1=y2的充要条件是：2x2-3x+1=x2+2x-5 解得x1=2,x2=3 (2)y1>y2的充要条件是：2x2-3x+1>x2+2x-5 解得x3 (3)y12的充要条件是：2x2-3x+12+2x-5 解得2 三、证明 例1.对于自然数a,b,c (a£b£c)和实数x,y,z,w若ax=by=cz=70w (1) (2) 求证：a+b=c 证明：由(1)得： ∴ 把(2)代入得：abc=70=2´5´7,a£b£c 由于a,b,c均不会等于1，故a=2,b=5,c=7从而a+b=c 例2.已知A=6lgp+lgq，其中p,q为素数，且满足q-p=29，求证：3 证明：由于p,q为素数，其差q-p=29为奇数，∴p=2,q=31 A=6lg2+lg31=lg(26×31)=lg1984 1000 例3.设f(x)=logax (a>0,a¹1)且 (q为锐角)，求证：1 证明：∵q是锐角，∴ ，从而a>1 又f(15)= =sinq+cosq = 1 故a 例4.已知02+y=0，求证： 证：因为0x>0,ay>0由平均值不等式 故 四、图象和性质 例1.设a、b分别是方程log2x+x-3=0和2x+x-3=0的根，求a+b及log2a+2b 解：在直角坐标系内分别作出函数y=2x和y=log2x的图象，再作直线y=x和y= -x+3，由于y=2x和y=log2x互为反函数，故它们的图象关于直线y=x对称，方程log2x+x-3=0的根a就是直线y= -x+3与对数曲线y=log2x的交点A的横坐标，方程2x+x-3=0的根b就是直线y= -x+3与指数曲线y=2x的交点B的横坐标 设y= -x+3与y=x的交点为M，则点M的横坐标为(1.5,1.5)， 所以a+b=2xM=3　 log2a+2b=2yM=3 例6.设f(x)=min(3+ ，log2x),其中min(p,q)表示p、q中的较小者，求f(x)的最大值 解：易知f(x)的定义域为(0,+¥) 因为y1=3+ 在(0,+¥)上是减函数，y2=log2x在(0,+¥)上是增函数，而当y1=y2，即 3+ =log2x时，x=4，所以由y1=3+ 和y2=log2x的图象可知 故当x=4时，得f(x)的最大值是2 另解：f(x)£3+ =3- (1)　　　 f(x)=log2x　 (2) (1)´2+(2)消去log2x，得3f(x)£6，f(x)£2 又f(4)=2,故f(x)的最大值为2 例7.求函数 的最小值 解：由1-3x>0得，x 令3x=t,则tÎ(0,1)，于是 故当x= -1时，得y的最小值-2+2log23 五、方程和不等式 例1.解方程(1)x+log2(2x-31)=5 　(2) 2lgx×xlg2-3×xlg2-21+lgx+4=0 解：(1)原方程即：log22x+log2(2x-31) =5 log2[2x(2x -31)]=5　 (2x)2-31×2x=32 解得：2x=32, ∴x=5 (2)原方程即：(2lgx)2-5×2lgx+4=0 解得：x1=100,x2=1 例2.设a>0且a¹1,求证：方程ax+a-x=2a的根不在区间[-1,1]内 解：设t=ax,则原方程化为：t2-2at+1=0　 (1) 由D=4a2-4³0得a³1,即a>1 令f(t)= t2-2at+1 f(a)=a2-2a2+1=1-a2 所以f(t)的图象与横轴有的交点的横坐标在 之外，故方程t2-2at+1=0在 之外有两个实根，原方程有两实根且不在区间[-1,1]内 例3.解方程：lg2x-[lgx]-2=0 (其中[x]表示不大于实数x的最大整数) 解：由[x]的定义知，[x]£x，故原方程可变为不等式： lg2x-lgx-2£0即-1£lgx£2 当-1£lgx2x=1 当0£lgx2x=2， 均不符合[lgx]=0 当1£lgx2x=3，所以lgx= ， 当lgx=2时，x=100 所以原方程的解为x1= 例4.当a为何值时，不等式 有且只有一解 解：易知：a>0且a¹1，设u=x2+ax+5，原不等式可化为 (1)当0 (1) 由于当u³0时， 与 均为单调增函数，所以它们的乘积 也是单增函数 因为f(4)=log3(2+1)×log5(4+1)=1 所以(1)等价于u³4,即x2+ax+5³4此不等式有无穷多解 (2)当a>1时，不等式化为 (2) 由f(4)=1知，(2)等价于0£u£4，即0£x2+ax+5£4 从上式可知，只有当x2+ax+5=4有唯一解即D=a2-4=0，a=2时，不等式0£x2+ax+5£4有唯一解x= -1 综上所述，当a=2时原不等式有且只有一个解 例5.已知a>0且a¹1，试求使方程 有解的k的取值范围 解：原方程即 即 分别解关于 的不等式、方程得： (k¹0时) 所以 解得k 又当k=0时，代入原式可推出a=0与已知矛盾，故k的取值范围为(-¥,-1)U(0,1)