1993年全国数学联赛第二试（高中）

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一．（35分） 设一凸四边形ABCD，它的内角中仅有∠D是钝角，用一些直线段将该凸四边形分割成n个钝角三角形，但除去A、B、C、D外，在该四边形的周界上，不含分割出的钝角三角形顶点．试证n应满足的充分必要条件是n≥4． 二．（35分） 设A是一个有n个元素的集合，A的m个子集A1，A2，…，Am两两互不包含． 试证： (1) 204052_4c5b5f515015d14.gif ≤1； (2) 204052_4c5b5f515200414.gif ≥m2． 其中|Ai|表示Ai所含元素的个数， 204052_4c5b5f5152c5014.gif 表示n个不同元素取|Ai|个的组合数． 三．（35分） 水平直线m通过圆O的中心，直线 l⊥m，l与m相交于M，点M在圆心的右侧，直线l上不同的三点A，B，C在圆外，且位于直线m上方，A点离M点最远，C点离M点最近，AP，BQ，CR为圆O的三条切线，P，Q，R为切点．试证： (1)l与圆O相切时，AB×CR+BC×AP＝AC×BQ； (2)l与圆O相交时，AB×CR+BC×AP＜AC×BQ； (3)l与圆O相离时，AB×CR+BC×AP＞AC×BQ．