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1996年全国数学联合竞赛试题(高中)

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发表于 2016-8-11 21:26:32 | 显示全部楼层 |阅读模式
12
                                一、选择题(本题满分36分,每题6分)
1、把圆

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与椭圆

124542_4c5b5f578972d15.gif

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的公共点,用线段连接起来所得到的图形为( )。
(A)线段;(B)不等边三角形;(C)等边三角形;(D)四边形。
2、等比数列

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的首项

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,公比

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,用

124546_4c5b5f578be3815.gif

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表示它的前

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123824_4c5b5f570bf7f15.gif

项之积。则

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最大的是( )。
(A)

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;(B)

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;(C)

124546_4c5b5f578f0f915.gif

124546_4c5b5f578f0f915.gif

;(D)

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3、存在整数

,使

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是整数的质数

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( )。
(A)不存在;(B)只有一个;(C)多于一个,但为有限个;(D)有无穷多个。
4、设

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,以下三个数

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124548_4c5b5f5792b8a15.gif

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的大小关系是( )。
(A)

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;(B)

124548_4c5b5f5794ead15.gif

124548_4c5b5f5794ead15.gif


(C)

;(D)


5、如果在区间[1,2]上函数



在同一点取相同的最小值,那么

在该区间上的最大值是( )。
(A)

;(B)


(C)

;(D)以上答案都不对。
6、高为8的圆台内有一个半径为2的球O1,球心O1在圆台的轴上,球O1与圆台的上底面、侧面都相切,圆台内可再放入一个半径为3的球O2,使得球O2与球O1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点,除球O2,圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是( )。
(A)1;(B)2;(C)3;(D)4。
二、填空题(本题满分54分,每小题9分)
1、集合

的真子集的个数是 __________。
2、复平面上,非零复数

在以

为圆心,1为半径的圆上,

的实部为零,

的辐角主值为

,则

__________。
3、曲线C的极坐标方程是

,点A的极坐标是(2,0),曲线C在它所在的平面内绕A旋转一周,则它扫过的图形的面积是 __________。
4、已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起,恰得到一个所有二面角都相等的六面体,并且该六面体的最短棱的长为2,则最远的两顶点间的距离是 __________。
5、从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色,将一个正方体的六个面染色,每面恰染一种颜色,每两个具有公共棱的面染成不同的颜色。则不同的染色方法共有 __________ 种。(注:如果我们对两个相同的正方体染色后,可以通过适当的翻转,使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同,那么,我们就说这两个正方体的染色方案相同。)
6、在直角坐标平面,以(199,0)为圆心,199为半径的圆周上整点(即横、纵坐标皆为整数的点))的个数为 __________ 。
 
第二试(10月13日上午9:40-11:40)
一、(本题满分25分)设数列

的前项和

,数列

满足



,求数列

的前

项和。
二、(本题满分25分)求实数

的取值范围,使得对任意实数

和任意

恒有


三、(本题满分35分)如图,圆O1和圆O2与△ABC的三边所在的三条直线都相切,E、F、G、H为切点,并且EG、FH的延长线交于P点,求证直线PA与BC垂直。

 
四、(本题满分35分)有

个人聚会。已知:(1)每个人至少同其中

个人互相认识;(2)对于其中任意

个人,或者其中有2人认识,或者余下的人中有2人相识。证明:这

个人中必有3人两两相识。
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