1999年全国数学联合竞赛试题（高中）

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                                  一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1、给定公比为

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的等比数列

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，设

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，

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，…，

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，…，则数列

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（A）是等差数列； （B）是公比为

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的等比数列；
（C）是公比为

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的等比数列； （D）既非等差数列又非等比数列。
[答]（C）
2、平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么满足不等式

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的整点

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的个数是
（A）16； （B）17； （C）18； （D）25。
[答]（A）
3、若

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，则
（A）

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；（B）

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；（C）

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；（D）

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。
[答]（B）
4、给定下列两个关于异面直线的命题：
命题I：若平面α上的直线

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与平面β上的直线

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为异面直线，直线

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是α与β的交线，那么

至多与

，

中的一条相交；
命题II：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。
那么
（A）命题I正确，命题II不正确；（B）命题II正确，命题I不正确；
（C）两个命题都正确； （D）两个命题都不正确。
[答]（D）
5、在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后退出，这样，全部比赛只进行了50场，那么在上述3名选手之间比赛的场数是
（A）0； （B）1； （C）2； （D）3。
[答]（B）
6、已知点A（1，2），过点（5，－2）的直线与抛物线

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交于另外两点B、C，那么△ABC是
（A）锐角三角形； （B）钝角三角形； （C）直角三角形； （D）答案不确定。
[答]（C）
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
1、已知正整数

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不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么这样的

的个数是__________。
[答] 6
2、已知

，那么复数

的辐角主值是__________。
[答]

3、在△ABC中，记BC＝

，CA＝

，AB＝

，若

，则

__________。
[答]

4、已知点P在双曲线

上，并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是P到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么P的横坐标是__________。
［答]

5、已知直线

中的

是取自集合

中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么这样的直线的条数是__________。
［答] 43
6、已知三棱锥S--ABC的底面是正三角形，A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，二面角H--AB--C的平面角等于30°，SA＝

，那么三棱锥S--ABC的体积为__________。
［答]

三、（本题满分20分）
已知当

时，不等式

恒成立，试求

的取值范围。 　　　　
答案：

，

是整数。
四、（本题满分20分）
给定A（－2，2），已知B是椭圆

上的动点，F是左焦点。当

取最小值时，求B的坐标。　　　　　　　　
答案：

。
五、（本题满分20分）
　　给定正整数

和正数

，对于满足条件

的所有等差数列

，试求

的最大值。
答案：

。
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一九九九年全国高中数学联合竞赛试题
加 试
（10月10日上午10:00--12:00）
一、（本题满分50分）
如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G。求证：∠GAC＝∠EAC。


二、（本题满分50分）
给定实数

，已知复数

满足：

,

,求

的值。
三、（本题满分50分）
给定正整数

，己知用克数都是正整数的

块砝码和一台天平可以称出质量为1，2，3，…，

克的所有物品。
（1）求

的最小值

；
（2）当且仅当

取什么值时，上述

块砝码的组成方式是唯一确定的？并证明你的结论。