1992年全国数学联合竞赛试题（高中）

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（第二试）
一、（35分）设A1A2A3A4为⊙O的内接四边形，H1、H2、H3、H4依次为△A2A3A4，△A1A3A4，△A1A2A4，△A1A2A3的垂心。求证：H1、H2、H3、H4四点在同一个圆上，并定出该圆的圆心位置。
二、（35分）设集合

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，若X是

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的子集，把X中所有数的和称为X的“容量”（规定空集的容量为0），若X的容量为奇（偶）数，则称X为

的奇（偶）子集。
（1）求证

的奇子集与偶子集个数相等。
（2）求证：当

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时，

的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和。
（3）当

时，求

的所有奇子集的容量之和。
三、（35分）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点，任取6个格点

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满足（1）

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，

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，

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，（2）任何三点不在同一条直线上。试证：在以

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为顶点的所有三角形中，必有一个三角形，它的面积不大于2。