2002年全国数学联合竞赛第二试（高中）

小学教育网

12
                               

204608_4c5b5f5176d9116.gif 一．（本题满分50分） 如图，在△ABC中，∠A＝60°, AB＞AC, 点O是外心，两条高BE、CF交于H点。 点M、N分别在线段BH、HF上，且满足BM＝CN 。 求：（MH + NH）/OH 的值 。 二．（本题满分50分） 实数a,b,c和正数 λ 使得 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c 有三个实根x1,x2,x3, 且满足 （1）x2 - x1＝λ （2）x3 ＞(x1＋x2)/2 求：(2a3 + 27c - 9ab)/λ3 的最大值 。 三．（本题满分50分） 在世界杯足球赛前，F国教练为了考察A1,A2,…,A7这七名队员，准备让他们在三场训练比赛（每场90分钟）都上场。假设在比赛的任何时刻，这些队员中有且仅有一人在场上，并且A1,A2,A3,A4每人上场的总时间（以分钟为单位）均被7整除，A5,A6,A7每人上场的总时间（以分钟为单位）均被13整除．如果每场换人次数不限，那么按每名队员上场的总时间计算，共有多少种不同的情况。