第三十二讲代数：关于集合、数、式之七

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                                B1-038 设f(z)=z2+az+b是具有复系数a，b的关于复变量z的二次三项式，且对一切z(｜z｜=1)有｜f(z)｜=1．求a和b的值．
【题说】1993年河北省赛二试题1．
【解】令z=±1，±i得
1=｜1+a+b｜
1=｜1-a+b｜
1=｜-1+ia+b｜
1=｜-1-ia+b｜
相加得
4=｜1+a+b｜+｜1-a+b｜+｜-1+ia+b｜+｜-1-ia+b｜
≥｜(1+a+b)+(1-a+b)+(1-ia-b)+(1+ia-b)｜=4
从而1+a+b，1-a+b，1-ia-b，1+ia-b四个复数作为向量来看，方向相同，而它们的长又均为1．于是a=0，b=0．
另一方面，在a=b=0时，f(z)=z2．对一切满足｜z｜=1的z，｜f(z)｜=｜z｜2=1．

B1-039 证明：实数x是有理数的充分必要条件是：能从数列x、x+1，…，x+n，…中选出3个不同的项，组成等比数列．
【题说】第二十五届(1993年)加拿大数学奥林匹克题2．
【证】(1)充分性 设x+i、x+j、x+k成等比数列，则
(x+j)2=(x+i)(x+k)
=((x+j)-(j-i))((x+j)+(k-j))
=(x+j)2+(k+i-2j)(x+j)-(k-j)(j-i)
从而 (k+i-2j)(x+j)=(k-j)(j-i)≠0

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p+2)q成等比数列．
事实上，这时

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B1-040 对每一个整数n≥2，确定并证明满足下列等式：
an=a+1 及 b2n=b+3a
的两个正实数a，b谁大．
【题说】第二十二届(1993年)美国数学奥林匹克题1．
【解】我们证明对一切n≥2，有a＞b．
显然a≠1，从而(a+1)2＞4a．假设b≥a，则得到如下两个互相矛盾的结果：

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及

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故a＞b．

B1-041 已知n个正整数ai(1≤i≤n)满足a1＜a2＜…＜an≤2n．其中任意两个ai，aj(i≠j)的最小公倍数都大于2n．

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【题说】1994年上海市赛高三二试题1．
【证】将每个ai写成2αi(2ti-1)的形式，其中αi为非负整数，ti为自然数．对任意的i≠j，因[ai，aj]＞2n，故2ti-1≠2tj-1．由此推知，2t1-1，2t2-1，…，2tn-1是1，3，…，2n-1的一个排列．

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-1的正奇数．因6t1-3≠2t1-1，故存在j＞1，使6t1-3=2tj-1．于是

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B1-043 设K1＜K2＜K3＜…是正整数，且没有两个数是相邻的，Sm=K1+K2+…+Km，m=1，2，3，…．证明：对每一个正整数n，区间[Sn，Sn+1)中至少有一个完全平方数．
【题说】第二十三届(1994年)美国数学奥林匹克题 1．

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Sn=Kn+Kn-1+Kn-2+…+K1
≤Kn+(Kn-2)+(Kn-4)+…+Ln
其中Ln=2，如果Kn是偶数；Ln=1，如果Kn是奇数，由此可得

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B1-045 求满足下列等式的数a