第十二讲整数问题：关于求解问题之六

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                                A2－029 对任意的实数x，函数f（x）有性质f（x）＋f（x－1）＝x2．如果f（19）＝94，那么f（94）除以1000的余数是多少？ 【题说】 第十二届（1994年）美国数学邀请赛题3．
【解】 重复使用f（x）＝x2－f（x－1），有
f（94）＝942－f（93）
＝942－932＋f（92）
＝942－932＋922－f（91）
＝…
＝942－932＋922－…＋202－f（19）
＝（94＋93）（94－93）＋（92＋91）（92－
91）＋…＋（22＋21）（22－21）＋202－94
＝（94＋93＋92＋…＋21）＋306

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＝4561
因此，f（94）除以1000的余数是561．
A2－030 对实数x，[x]表示x的整数部分，求使[log21]＋[log22]＋[log23]＋…＋[log2n]＝1994成立的正整数n．
【题说】 第十二届（1994年）美国数学邀请赛题 4．
【解】 [long21]＋[log22]＋[log23]＋…＋[log2128]＋[log2129]＋…＋[log2255]＝2×1＋4×2＋8×3＋16×4＋32×5＋64×6＋128×7＝1538．

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    A2－031 对给定的一个正整数n．设p（n）表示n的各位上的非零数字乘积（如果n只有一位数字，那么p（n）等于那个数字）．若S＝p（1）＋p（2）＋p（3）＋…＋p（999），则S的最大素因子是多少？
【题说】 第十二届（1994年）美国数学邀请赛题5．
【解】 将每个小于1000的正整数作为三位数，（若位数小于3，则前面补0，如 25可写成 025），所有这样的正整数各位数字乘积的和是
（0?0?0＋0?0?1＋0?0?2＋…＋9?9?8＋9?9?9）－0?0?0
＝（0＋1＋2＋…＋9）3－0
p（n）是n的非零数字的乘积，这个乘积的和可以由上面表达式将0换成1而得到．
因此，

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＝463－1＝33?5?7?103
最大的素因子是103．
  A2－032 求所有不相同的素数p、q、r和s，使得它们的和仍是素数，并且p2＋qs及p2＋qr都是平方数．
【题说】 第二十届（1994年）全俄数学奥林匹克九年级题7．
【解】 因为四个奇素数之和是大于2的偶数，所以所求的素数中必有一个为偶数