第二十九讲代数：关于集合、数、式之四

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                                B1-017 对任意非空实数集S，令σ(S)为S的元素之和．已知n个正整数的集A，考虑S跑遍A的非空子集时，所有不同和σ(S)的集．证明这些和可以分为n类，每一类中最大的和与最小的和的比不超过2．
【题说】 第二十五届(1996年)美国数学奥林匹克题2
【解】设A={a1，a2，…，an}，a1＜a2＜…＜an．令fj=a1+a2+…aj，ej=max{aj，fj-1}｝，则fj=fj-1+aj≤2ej(1≤j≤n)．
每个和ai1+ai2+…+ait，i1＜i2＜…＜it，必在某个区间(fj-1，fj]中．因为
ai1+ai2+ait＞fj-1=a1+a2+…aj-1
所以
it≥j
从而
ai1+ai2+…+ait≥aj
于是ai1+ai2+…+ait∈[ej，fj]．
这样σ(S)被分为n个类，在ej与fj之间的和为第j类(1≤j≤n)，fj本身在第j类，而ej=fj-1时，ej不在第j类；ej＞fj-1时，ej在第j类．每一类中最大的和与最小的和的比不超过2．
B1-018 设S={1，2，3，4)，n项的数列：a1，a2，…，an有下列性质，对于S的任何一个非空子集B(B的元素个数记为｜B｜)，在该数列中有相邻的｜B｜项恰好组成集合B．求n的最小值．
【题说】1997年爱朋思杯――上海市赛决赛题3．
【解】n的最小值为8．
首先证明S中的每个数在数列a1，a2，…，an中至少出现2次．事实上，若S中的某个数在这个数列中只出现1次，由于含这个数的二元子集共有3个，但在数列中含这个数的相邻两项至多只有两种取法，因而3个含这个数的二元子集不可能都在数列相邻两项中出现．
由此可见n≥8．
另一方面，8项数列：3，1，2，3，4，1，2，4满足条件，因此，所求最小值为8．
B1-019 求两个正整数m与n之间(m＜n)，一切分母为3的既约分数的和．
【题说】1962年成都市赛高三二试题1．

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3(n-m)+1
项．其和

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但其中整数项的和

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故所求之和
S=S1-S2=n2-m2
B1-020 证明cos10°是无理数．
【题说】1963年合肥市赛高二二试题3．
【证】利用公式cos3x=4cos3x-3cosx，可得
cos30°=4cos310°-3cos10°
                                                                                                           (1)
即

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若cos10°是一个有理数，则(1)右端为有理数，而左端是一个无理数，矛盾，故cos10°为无理数．
B1-021 求出所有四元实数组(x1，x2，x3，x4)，使其中任一个数与其余三数积的和等于2．
【题说】第七届(1965年)国际数学奥林匹克题4．本题由原苏联提供．
【解】设x1x2x3x4=d，则

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显然d≤1．有以下五种情况：

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所以 d=1，x1=x2=x3=x4=1．

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所以d=1，x1=x2=x3=x4=1．