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B1－001 把含有12个元素的集分成6个子集，每个子集都含有2个元素，有多少种分法？
【题说】1969年～1970年波兰数学奥林匹克三试题5．
【解】将12个元素排成一列有12！种方法．排定后，从左到右每2个一组就得到6个2元子集．同一组中2个元素顺序交换得到的是同一子集．6个子集顺序交换得到的是同样的分法，因此共有
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种不同的分法．
[别解]设a1是集中的一个元素，将a1与其余11个元素中的任一个结合，就得到含a1的2元子集，这种2元子集共有11种．
确定含a1的子集后，设a2是剩下的一个元素，将a2与其余9个元素中的任一个结合，就得到含a2的2元子集，这种子集共有9种．
如此继续下去，得到6个2元子集．共有11×9×7×5×3=10395种分法．
B1－002 证明：任一个有限集的全部子集可以这样地排列顺序，使任何两个邻接的集相差一个元素．
【题说】1971年～1972年波兰数学奥林匹克三试题5．
【证】设有限集A含n个元素．当n=1时，子集序列φ，A即满足条件．
假设n=k时命题成立，对于k＋1元集
A=｛x1，x2，…，xk+1｝
由归纳假设，{x1，x2，…，xk}的子集可排成序列
B1，B2，…，Bt （t=2k）
满足要求．因此A的子集也可排成序列
B1，B2，…，Bt，Bt∪{xk+1}，Bt-1∪{xk+1}，…，B2∪{xk+1}B1∪{xk+1}，满足要求．
于是命题对一切自然数n均成立．
B1－003 设1≤r≤n，考虑集合{1，2，3，…，n}的所有含r个元素的子集及每个这样的子集中的最小元素，用F（n，r）表示一切这样的子集各自的最小元素的算术平均数．证明：
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【题说】第二十二届（1981年）国际数学奥林匹克题2．
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这n－k个数中选出）．所以
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将（1）式右边的和写成一个表
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将上表每一行加起来，再将这些行和相加便得（1）的右边的分子，现
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B1－004 定义一个数集的和为该集的所有元素的和．设S是一些不大于15的正整数组成的集，假设S的任意两个不相交的子集有不相同的和，具有这个性质的集合S的和的最大值是多少？
【题说】第四届（1986年）美国数学邀请赛题12．
【解】先证明S元素个数至多是5．如果多于5个，则元素个数不
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S的元素个数≤5，所以S的和≤15＋14＋13＋12＋11=65．如果S的和≥62，则S的元数为5，并且15、14均在S中（S的和至多比15＋14＋13＋12＋11少3）．这时S中无其它的连续整数，因而只有一种情况即｛15，14，13，11，9），不难看出它不满足条件．
所以，S的和≤61．特别地，S={15，14，13，11，8}时，和取最大值61．
B1－006 对有限集合A，存在函数f：N→A具有下述性质：若|i－j|是素数，则f（i）≠f（j），N={1，2，…}．求有限集合A的元素的最少个数．
【题说】1990年巴尔干地区数学奥林匹克题4．
【解】1，3，6，8中每两个数的差为素数，所以f（1），f（3），f（6），f（8
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发表于 2016-8-11 21:26:08