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第二十讲整数问题:关于整除之三

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发表于 2016-8-11 21:26:04 | 显示全部楼层 |阅读模式
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                                A4-014  (a)对于什么样的整数n>2,有n个连续正整数,其中最大的数是其余n-1个数的最小公倍数的约数?
(b)对于什么样的n>2,恰有一组正整数具有上述性质?
【题说】第二十二届(1981年)国际数学奥林匹克题4.
【解】设n个连续正整数中最大的为m.
当n=3时,如果m是m-1,m-2的最小公倍数的约数,那么m整除(m-1)(m-2),由m|(m-1)(m-2)得m|2,与m-2>0矛盾.
设n=4.由于
m|(m-1)(m-2)(m-3)
所以m|6,而m>4,故这时只有一组正整数3,4,5,6具有所述性质.
设n>4.由于m|(m-1)(m-2)…(m-n+1),所以m|(n-1)!取m=(n-1)(n-2),则(n-1)|(m-(n-1)),(n-2)|(m-(n-2)).由于n-1与n-2互质,m-(n-1)与m-(n-2)互质,所以m=(n-1)(n-2)整除m-(n-1)与m-(n-2)的最小公倍数,因而m具有题述性质.
类似地,取m=(n-2)(n-3),则m整除m-(n-2)与m-(n-3)的最小公倍数,因而m具有题述性质.
所以,当n≥4时,总能找到具有题述性质的一组正整数.当且仅当n=4时,恰有唯一的一组正整数.
A4-018  试求出所有的正整数a、b、c,其中1<a<b<c,使得(a-1)(b-1)(c-1)是abc-1的约数.
【题说】第三十三届(1992年)国际数学奥林匹克题1.本题由新西兰提供.
【解】设x=a-1,y=b-1,z=c-1,则1≤x<y<z并且xyz是
(x+1)(y+1)(z+1)-1=xyz+x+y+z+xy+yz+zx的约数,从而xyz是x+y+z+xy+yz+zx的约数.
由于x+y+z+xy+yz+zx<3yz,所以x=1或2.
若x=1,则yz是奇数1+2y+2z的约数.由于1+2y+2z<4z,所以y=3.并且3z是7+2z的约数.于是z=7.
若x=2,则2yz是2+3y+3z+yz
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