1995年全国高中数学联合竞赛第二试

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一、(25分) 给定曲线族 2(2sinθ-cosθ+3)x2 - (8sinθ+cosθ+1)y = 0,θ为参数，求该曲线在直线 y=2x 上所截得的弦长的最大值．

二、(25分) 求一切实数p，使得三次方程5x^3-5(p+1)x^2+(71p-1)x+1=66p的三个根均为自然数．

三、(35分) 如图，菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E，F，G，H，在弧EF与GH上分别作圆O的切线交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q，求证: MQ//NP．

四、(35分) 将平面上的每个点都以红，蓝两色之一着色。证明:存在这样两个相似的三角形，它们的相似比为1995，并且每一个三角形的三个顶点同色．

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