华数思维训练导引――计算问题（三）整数与数列

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《思维训练导引》四年级第01讲  计算问题第03讲  整数与数列
　　1、如图1-1所示的表中有55个数，那么它们的和加上多少才等于1994？
　　1   7  13  19  25  31  37  43  49  55  61
　　2   8  14  20  26  32  38  44  50  56  62
　　3   9  15  21  27  33  39  45  51  57  63
　　4  10  16  22  28  34  40  46  52  58  64
　　5  11  17  23  29  35  41  47  53  59  65
　　解答：它们的和=3×5+9×5+15×5+21×5+27×5+33×5+39×5+45×5+51×5+57×5+63×5
　　　　=（33×11）×5
　　　　=1815
    [或者：它们的和=（31+32+33+34+35）×11=1815]
           1994-1815=179
　　答：它们的和加上179才等于1994。
　　2、计算：1000+999-998-997+996+995-994-993+……+108+107-106-105+104+193-102-101。
　　解答：1000+999-998-997+996+995-994-993+……+108+107-106-105+104+193-102-101
　　　　=（1000+999-998-997）+（996+995-994-993）+……+（108+107-106-105）+（104+193-102-101）
　　　　=4+4+……+4+4
　　　　=［（1000-101）÷1+1］÷4×4
　　　　=900
　　3、计算：（1+3+5+……+1989）-（2+4+6+……+1988）。
　　解答：（1+3+5+……+1989）-（2+4+6+……+1988）
　　　　　=1+（3-2）+（5-4）+……+（1989-1988）
　　　　　=1+1×（1989-1）÷2
　　　　　=1+994
　　　　　=995
　　4、利用公式l×l+2×2+……+n×n＝n×（n+1）×（2×n+1）÷6，计算：15×15+16×16+……+21×21。
　　解答：15×15+16×16+……+21×21
　　　　　=21×（21+1）×（2×21+1）÷6-14×（14+1）×（2×14+1）÷6
　　　　　=3311-1015
　　　　　=2296
　　5、计算：20×20-19×19+18×18-17×17+……+2×2-1×1。
　　解答：20×20-19×19+18×18-17×17+……+2×2-1×1
　　　　　=（20+19）×（20-19）+（18+17）×（18-17）+……+（2+1）×（2-1）
　　　　　=210  
　　6、计算：3333×5555+6×4444×2222。
　　解答：3333×5555+6×4444×2222
　　　　　=3×1111×5×1111+6×1111×4×2×1111
　　　　　=15×1111×1111+48×1111×1111
　　　　　=（15+48）×1111×1111
　　　　　=63×1111×1111
　　　　　=7×9×1111×1111
　　　　　=9999×7777
　　　　　=（10000-1）×7777
　　　　　=77770000-7777
　　　　　=77762223  
　　7、计算：19931993×1993-19931992×1992-19931992。
　　解答：19931993×1993-19931992×1992-19931992
　　　　　=19931993×1993-（19931992×1992+19931992）
　　　　　=19931993×1993-19931992×（1992+1）
　　　　　=19931993×1993-19931992×1993
　　　　　=1993×（19931993-19931992）
　　　　　=1993  
　　8、两个十位数1111111111与9999999999的乘积中有几个数字是奇数?
　　解答：1111111111×9999999999
　　　　　=1111111111×（10000000000-1）
　　　　　=11111111110000000000-1111111111
　　　　　=1111111118888888889
　　有10个奇数
　　答：乘积中有10个数字是奇数。

　　9、我们把相差为2的两个奇数称为连续奇数。已知自然数1111155555是两个连续奇数的乘积，那么这两个奇数的和是多少？
　　解答：1111155555=11111×100005=11111×3×33335=33333×33335，33333+33335=66668
　　答：这两个奇数的和是66668。  
　　10、求和：l×2+2×3+3×4+……+9×10。
　　解答：l×2+2×3+3×4+……+9×10
　　　=（1×2×3+2×3×4-1×2×3+3×4×5+……+9×10×11-8×9×10）÷3
　　　=9×10×11÷3
　　　=3×10×11
　　　=330
　　11、计算：1×1+2×1×2+3×1×2×3+4×1×2×3×4+5×1×2×3×4×5+6×1×2×3×4×5×6+7×1×2×3×4×5×6×7+8×1×2×3×4×5×6×7×8。
　　解答：1×1+2×1×2+3×1×2×3+4×1×2×3×4+5×1×2×3×4×5+6×1×2×3×4×5×6+7×1×2×3×4×5×6×7+8×1×2×3×4×5×6×7×8
　　　　=1！+2×2！+3×3！+4×4！+5×5！6×6！+7×7！+8×8！
　　　　=（2！-1！）+（3！-2！）+（4！-3！）+（5！-4！）+（6！-5！）+（7！-6！）+（8！-7！）+（9！-8！）
　　　　=9！-1！
　　　　=1×2×3×4×5×6×7×8×9-1
　　　　=362879
　　12、在两个数之间写上一个?，用所连成的字串表示用前面的数除以后面的数所得的余数，例如： 13?5=3，6?2=0．试计算：（2000?49）?9．
　　解答：2000?49＝40，40?9＝4
　　答：计算结果是4。  
　　13、羊和狼在一起时，狼要吃掉羊。所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用△表示：羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼=狼。以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了。小朋友总是希望羊能战胜狼，所以我们规定另一种运算，用符号☆表示：羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼。这个运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走而只剩下羊了。对羊和狼，可以用上面规定的运算作混合运算。混合运算的法则是从左到右，括号内先算。
　　羊△（狼☆羊）☆羊△（狼☆狼）。
　　解答：羊△（狼☆羊）☆羊△（狼☆狼）
　　　　　=羊△羊☆羊△狼
　　　　　=羊☆羊△狼
　　　　　=羊△狼
　　　　　=狼
　　答：运算结果是狼。  
　　14、对于自然数1，2，3，…，100中的每一个数，把它非零数字相乘，得到100个乘积（例如23，积为2×3=6；如果一个数仅有一个非零数字，那么这个数就算作积，例如与100相应的积为1）。问：这100个乘积之和为多少?
　　解答：1，2，……，9，和是45；11，12，……，19，和是1×45；21，22，……，29，和是2×45；……；91，92，……，99，和是9×45；10，20，……，90，和是45；100的为1。
　　总和是（1+1+2+3+……+9+1）×45+1
　　　　＝47×45+1
　　　　=2116
　　答：这100个乘积之和是2116。  
　　15、从1到1989这些自然数中的所有数字之和是多少？
　　解答：把1到1998之间的所有自然数，都表示成四位数字的形式：0001，0002，0003，……，1989，……，1996，1997，1998。从两头开始配对组合：（0001+1998），（0002+1997），（0003+1996），……共999对。每对的四位数字之和都是1+9+9+9=28，所以1到1998的数字和是28×999=27972。
多算了1990到1998的数字和，即多算了1×9+9×9+9×9+1+2+3+4+5+6+7+8=207。27972-207=27765
　　答：从1到1989这些自然数中的所有数字之和是27765。