奥数探秘之塞瓦定理

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在△ABC内任取一点O，
　　直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1
　　证法简介
　　(Ⅰ)本题可利用梅涅劳斯定理证明：
　　∵△ADC被直线BOE所截，
　　∴ (CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 ①
　　而由△ABD被直线COF所截，∴ (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1②
　　②÷①:即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1
　　(Ⅱ)也可以利用面积关系证明
　　∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③
　　同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤
　　③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
　　利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:
　　设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，
　　根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA)/[(CD*ctgB)]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(BF*ctgA)]=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。
　　可用塞瓦定理证明的其他定理;
　　三角形三条中线交于一点(重心):如图5 D , E分别为BC , AC 中点 所以BD=DC AE=EC 所以BD/DC=1 CE/EA=1
　　且因为AF=BF 所以 AF/FB必等于1 所以AF=FB 所以三角形三条中线交于一点
　　塞瓦定理推论(赵浩杰定理)：
　　设E是△ABD内任意一点，
　　AE、BE、DE分别交对边于C、G、F，则 (BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1，(塞瓦定理)
　　则 (BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=K(K为未知参数)且(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=K(K为未知参数)
　　由梅涅劳斯定理得：(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=1
　　所以(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1(塞瓦定理推论)