奥数探秘之托勒密定理

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定理的提出
　　一般几何教科书中的“托勒密定理”，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。
　　定理的内容
　　托勒密(Ptolemy)定理指出，圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
　　原文：圆内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。
　　从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.
　　证明
　　一、(以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。)
　　在任意四边形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD
　　因为△ABE∽△ACD
　　所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)
　　又有比例式AB/AC=AE/AD
　　而∠BAC=∠DAE
　　所以△ABC∽△AED相似.
　　BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2)
　　(1)+(2),得
　　AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC
　　又因为BE+ED≥BD
　　(仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”)
　　所以命题得证
　　复数证明
　　用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。首先注意到复数恒等式： (a − b)(c − d) + (a − d)(b − c) = (a − c)(b − d) ，两边取模，运用三角不等式得。 等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。四点不限于同一平面。 平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。
　　二、
　　设ABCD是圆内接四边形。 在弦BC上，圆周角∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。在AC上取一点K，使得∠ABK = ∠CBD; 因为∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。 因此△ABK与△DBC相似，同理也有△ABD ~ △KBC。 因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD; 因此AK·BD = AB·CD，且CK·BD = BC·DA; 两式相加，得(AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA; 但AK+CK = AC，因此AC·BD = AB·CD + BC·DA。证毕。
　　推论
　　1.任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。
　　2.托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆、
　　推广
　　托勒密不等式：四边形的任两组对边乘积不小于另外一组对边的乘积，取等号当且仅当共圆或共线。
　　简单的证明：复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，两边取模，
　　得不等式AC·BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB·CD+BC·AD
　　注意：
　　1.等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。
　　2.四点不限于同一平面。
　　欧拉定理：在一条线段上AD上，顺次标有B、C两点，则AD·BC+AB·CD=AC·BD