奥数探秘之西姆松定理

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西姆松定理说明
　　有三角形ABC，平面上有一点P。P在三角形三边上的投影(即由P到边上的垂足)共线(此线称为西姆松线, Simson line)当且仅当P在三角形的外接圆上。
　　相关的结果有：
　　称三角形的垂心为H。西姆松线和PH的交点为线段PH的中点，且这点在九点圆上。
　　两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。
　　若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角，跟P的位置无关。
　　从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。
　　证明
　　证明一： △ABC外接圆上有点P，且PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，PD⊥BC于D，分别连DE、DF.
　　易证P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分别共圆，于是∠FDP=∠ACP ①，(∵都是∠ABP的补角)且∠PDE=∠PCE
　　② 而∠ACP+∠PCE=180°
　　③ ∴∠FDP+∠PDE=180°
　　④ 即F、D、E共线. 反之，当F、D、E共线时，由④→②→③→①可见A、B、P、C共圆.
　　证明二： 如图，若L、M、N三点共线，连结BP，CP，则因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和

　　M、P、L、C分别四点共圆，有
　　∠PBN = ∠PLN = ∠PLM = ∠PCM.
　　故A、B、P、C四点共圆。
　　若A、B、P、C四点共圆，则∠PBN = ∠PCM。因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C四点共圆，有
　　∠PBN =∠PLN =∠PCM=∠PLM.
　　故L、M、N三点共线。