题目:从1开始到1998止,这1998个整数中,能被3整除,但不能被5和7整除的数的个数为____。
该题是一道竞赛题目,据统计参赛学生中无一人能够完整得到解答。从表面看,属于整除问题,但实质上是有一定难度的包含与排除问题。此类题的特征是:有关数量有相互包含、重复计算的部分。在具体解答时,还存在个别数量的排除问题。学生在分析解答该题时,极容易在“包含”、“重复”、“排除”等方面出现混淆,产生误解。现分析如下:
一、“包含”辨析不清 简单草率作解
有的学生审题不认真,把不存在“包含”关系的数量当作“包含”关系去处理,就盲目草率去解答,导致解答失误。如简单认为只有同时能被5、7整除的数的个数是包含在能被3整除的数中。这样:
1998÷3=666(个)
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666-57=609(个)
二、例举范围狭窄 类推遗漏“重复”
有些学生在分析时,突然也注意到“包含”,但在类推时,例举数据取在100以内:
1 2 4 5 7 8 10 11 13 14
16 17 19 20 22 23 25 26 28 29
31 32 34 35 37 38 40 41 43 43
这样类推,就只存在能同时被3、5整除,3、7整除的数的“包含”情况,显然把这两种“包含”中100以上数中存在的相互“重复”情况遗漏掉,也产生误答。
1998÷3=666(个)
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666-(133+95)=438(个)
三、“排除”理解欠妥,数据处理不佳
有的学生认为在被3整除的数中,除了要排除掉133个被3、5整除,95个被 3、7整除的数外,同时能被 3、5、7整除的数也应排除,1998
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此外,相当一部分学生在分析解答时,审题以偏概全,顾此失彼的现象更为普遍,这里不再举例说明。
该题完整、正确的解答思路和步骤是:
首先考虑在1―1998这些数中,包含能被3整除的数的个数有多少。即从1开始依次每3个数中有一个能被3整除的数,所以这些数共有:1998÷3=666(个)。
其次辨析被3整除的所有数中,能被5整除的数是15、30、45,……,
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数是 21、42、63,……,即同时被 3、7整除的数的个数有1998÷21=95
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再次辨析被3、5同时整除,3、7同时整除的数中,共同交叉包含有同时被 3、5、7整除的数的“重复”情况存在,这些数共有 1998÷105=
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所以,该题的正确结果应为:
666-(133+95-19)=457(个)
或 666-133-95+19=457(个)。
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