指数函数、对数函数解析
12指数函数、对数函数一、计算：
例1.化简
(1)
(2)
(3)
解：(1)x的指数是
所以原式=1
(2)x的指数是
=0
所以原式=1
(3)原式=
例2.若
，求
解：因为
所以f(x)+f(1-x)=1
=
例3.已知m,n为正整数，a>0,a¹1,且
求m,n
解：左边=
原式为loga(m+n)=logamn
得m+n=mn即(m-1)(n-1)=1
因为m,nÎN，所以
从而m=n=2
二、比较大小
例1.试比较
与
的大小
解：令121995=a>0则
¸
=
所以
>
例2.已知函数f(x)=logax (a>0,a¹1,xÎR+)若x1,x2ÎR+,试比较
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与
/collect/201608/11/095408_4c5b5f554e18f13.gif
的大小
解：f(x1)+f(x2)=loga(x1x2)
∵x1,x2ÎR+,∴
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(当且仅当x1=x2时，取“=”号)，
当a>1时，有
/collect/201608/11/095408_4c5b5f554f8fc13.gif
，∴
/collect/201608/11/095408_4c5b5f55504b213.gif
即
/collect/201608/11/095408_4c5b5f555106813.gif
(当且仅当x1=x2时，取“=”号)
当a>1时，有
/collect/201608/11/095408_4c5b5f5551c2013.gif
，∴
/collect/201608/11/095408_4c5b5f55527d613.gif
即
/collect/201608/11/095408_4c5b5f555338c13.gif
(当且仅当x1=x2时，取“=”号)
例3.已知y1=
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，y2=
/collect/201608/11/095408_4c5b5f5554af913.gif
，当x为何值时
(1)y1=y2 (2)y1>y2 (3)y12
解：由指数函数y=3x为增函数知
(1)y1=y2的充要条件是：2x2-3x+1=x2+2x-5 解得x1=2,x2=3
(2)y1>y2的充要条件是：2x2-3x+1>x2+2x-5 解得x3
(3)y12的充要条件是：2x2-3x+12+2x-5 解得2
三、证明
例1.对于自然数a,b,c (a£b£c)和实数x,y,z,w若ax=by=cz=70w (1)
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(2)
求证：a+b=c
证明：由(1)得：
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∴
/collect/201608/11/095408_4c5b5f5556e1d13.gif
把(2)代入得：abc=70=2´5´7,a£b£c
由于a,b,c均不会等于1，故a=2,b=5,c=7从而a+b=c
例2.已知A=6lgp+lgq，其中p,q为素数，且满足q-p=29，求证：3
证明：由于p,q为素数，其差q-p=29为奇数，∴p=2,q=31
A=6lg2+lg31=lg(26×31)=lg1984
1000
例3.设f(x)=logax (a>0,a¹1)且
(q为锐角)，求证：1
证明：∵q是锐角，∴
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，从而a>1
又f(15)=
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=sinq+cosq
=
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1
故a
例4.已知02+y=0，求证：
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证：因为0x>0,ay>0由平均值不等式
/collect/201608/11/095410_4c5b5f555a8ad13.gif
故
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四、图象和性质
例1.设a、b分别是方程log2x+x-3=0和2x+x-3=0的根，求a+b及log2a+2b
解：在直角坐标系内分别作出函数y=2x和y=log2x的图象，再作直线y=x和y= -x+3，由于y=2x和y=log2x互为反函数，故它们的图象关于直线y=x对称，方程log2x+x-3=0的根a就是直线y= -x+3与对数曲线y=log2x的交点A的横坐标，方程2x+x-3=0的根b就是直线y= -x+3与指数曲线y=2x的交点B的横坐标
设y= -x+3与y=x的交点为M，则点M的横坐标为(1.5,1.5)，
所以a+b=2xM=3 log2a+2b=2yM=3
例6.设f(x)=min(3+
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，log2x),其中min(p,q)表示p、q中的较小者，求f(x)的最大值
解：易知f(x)的定义域为(0,+¥)
因为y1=3+
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在(0,+¥)上是减函数，y2=log2x在(0,+¥)上是增函数，而当y1=y2，即
3+
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=log2x时，x=4，所以由y1=3+
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和y2=log2x的图象可知
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故当x=4时，得f(x)的最大值是2
另解：f(x)£3+
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=3-
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(1) f(x)=log2x (2)
(1)´2+(2)消去log2x，得3f(x)£6，f(x)£2
又f(4)=2,故f(x)的最大值为2
例7.求函数
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的最小值
解：由1-3x>0得，x
令3x=t,则tÎ(0,1)，于是
/collect/201608/11/095410_4c5b5f555faab13.gif
故当x= -1时，得y的最小值-2+2log23
五、方程和不等式
例1.解方程(1)x+log2(2x-31)=5 (2) 2lgx×xlg2-3×xlg2-21+lgx+4=0
解：(1)原方程即：log22x+log2(2x-31) =5
log2x(2x -31)]=5 (2x)2-31×2x=32
解得：2x=32, ∴x=5
(2)原方程即：(2lgx)2-5×2lgx+4=0
解得：x1=100,x2=1
例2.设a>0且a¹1,求证：方程ax+a-x=2a的根不在区间[-1,1]内
解：设t=ax,则原方程化为：t2-2at+1=0 (1)
由D=4a2-4³0得a³1,即a>1
令f(t)= t2-2at+1
f(a)=a2-2a2+1=1-a2
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所以f(t)的图象与横轴有的交点的横坐标在
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之外，故方程t2-2at+1=0在
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之外有两个实根，原方程有两实根且不在区间[-1,1]内
例3.解方程：lg2x-x]-2=0 (其中[x]表示不大于实数x的最大整数)
解：由[x]的定义知，[x]£x，故原方程可变为不等式：
lg2x-lgx-2£0即-1£lgx£2
当-1£lgx2x=1
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当0£lgx2x=2，
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均不符合x]=0
当1£lgx2x=3，所以lgx=
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，
/collect/201608/11/095410_4c5b5f55640f113.gif
当lgx=2时，x=100
所以原方程的解为x1=
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例4.当a为何值时，不等式
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有且只有一解
解：易知：a>0且a¹1，设u=x2+ax+5，原不等式可化为
/collect/201608/11/095410_4c5b5f556641513.gif
(1)当0
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(1)
由于当u³0时，
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与
/collect/201608/11/095412_4c5b5f55692ef13.gif
均为单调增函数，所以它们的乘积
/collect/201608/11/095412_4c5b5f5569ea613.gif
也是单增函数
因为f(4)=log3(2+1)×log5(4+1)=1
所以(1)等价于u³4,即x2+ax+5³4此不等式有无穷多解
(2)当a>1时，不等式化为
/collect/201608/11/095412_4c5b5f556aa5c13.gif
(2)
由f(4)=1知，(2)等价于0£u£4，即0£x2+ax+5£4
从上式可知，只有当x2+ax+5=4有唯一解即D=a2-4=0，a=2时，不等式0£x2+ax+5£4有唯一解x= -1
综上所述，当a=2时原不等式有且只有一个解
例5.已知a>0且a¹1，试求使方程
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有解的k的取值范围
解：原方程即
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即
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分别解关于
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的不等式、方程得：
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(k¹0时)
所以
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解得k
又当k=0时，代入原式可推出a=0与已知矛盾，故k的取值范围为(-¥,-1)U(0,1)
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