1994年全国数学联合竞赛试题（高中）
" width="83" align="absMiddle" />，，则下列三数：
，
，
的大小关系是（ ）。
（A）
；（B）
；（C）
；（D）
。
5、在正
棱锥中,相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（ ）。
（A）
；（B）
；（C）
；（D）
。
6、在平面直角坐标系中,方程
（
是不相等的两个正数）所代表的曲线是（ ）。
（A）三角形；（B）正方形；（C）非正方形的长方形；（D）非正方形的菱形。
二、填空题（每小题9分，共54分）
1、已知有向线段PQ的起点P和终点Q的坐标分别为（－1，1）和（2，2），若直线
与PQ的延长线相交，则
的取值范围是 __________。
2、已知
，
且
，则
/collect/201608/11/124404_4c5b5f5826eed17.gif
__________。
3、已知点集
/collect/201608/11/124404_4c5b5f5827aa517.gif
，
/collect/201608/11/124404_4c5b5f582865a17.gif
，则点集
/collect/201608/11/124404_4c5b5f582921617.gif
中的整点（即横、纵坐标均为整数的点）的个数为 __________。
4、设
/collect/201608/11/124404_4c5b5f5829ea517.gif
，则
/collect/201608/11/124406_4c5b5f582aa5c17.gif
的最大值是 __________。
5、已知一平面与一正方体的12条棱的夹角都等于
/collect/201608/11/124130_4c5b5f57455e017.gif
，则
/collect/201608/11/124406_4c5b5f582b61217.gif
__________。
6、已知95个数
/collect/201608/11/124406_4c5b5f582c1c917.gif
，每个都只能取＋1或－1两个值之一，那么它们的两两之积的和
/collect/201608/11/124406_4c5b5f582cd7f17.gif
的最小值是__________。
（第二试）
一、（本题满分25分）
/collect/201608/11/125520_4c5b5f489385017.gif
的二次方程
/collect/201608/11/124406_4c5b5f582d93617.gif
中，
/collect/201608/11/124406_4c5b5f582e4ec17.gif
均是复数，且
/collect/201608/11/124406_4c5b5f582f0a317.gif
，设这个方程的两个根
/collect/201608/11/124448_4c5b5f577b4ba17.gif
满足
/collect/201608/11/124406_4c5b5f582fc5917.gif
，求
/collect/201608/11/124408_4c5b5f583081017.gif
的最大值和最小值。
二、（本题满分25分）将与105互素的所有正整数从小到大排成数列，试求出这个数列的第1000项。
三、（本题满分35分）如图，设三角形的外接圆O的半径为R，内心为I，∠B＝60°，∠A＜∠C，∠A的外角平分线交圆O于E。证明：
/collect/201608/11/124408_4c5b5f58313c617.gif
（1）IO＝AE；（2）2R＜IO＋IA＋IC＜（1＋
/collect/201608/11/124408_4c5b5f5831f7d17.gif
）R。
四、（本题满分35分）给定平面上的点集
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，P中任三点均不共线，将P中的所有的点任意分成83组，使得每组至少有3个点，且每点恰好属于一组，然后将在同一组的任两点用一条线段相连，不在同一组的两点不连线段，这样得到一个图案G，不同的分组方式得到不同的图案，将图案G中所含的以P中的点为顶点的三角形个数记为
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。
（1）求
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的最小值。
（2）设
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是使
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的一个图案，若
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中的线段（指以P的点为端点的线段）用4种颜色染色，每条线段恰好染一种颜色。证明存在一个染色方案，使
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染色后不含以P的点为顶点的三边颜色相同的三角形。
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