1998年全国数学联合竞赛试题（高中）
12一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1、若
且
，则
的值
(A) 等于
；(B)等于1；(C)等于0；(D)不是与
无关的常数。
2、若非空集合
，则能使
成立的所有
的集合是( )。
(A)
；(B)
；(C)
；(D)
。
3、各项均为实数的等比数列
的前
项和记为
，若
,则
等于( )。
(A) 150；(B)－200；(C)150或－200；(D)400或－50。
4、设命题P：关于
的不等式
与
的解集相同；命题Q：
/collect/201608/11/125052_4c5b5f57e88fc17.gif
。则命题Q
(A)是命题P的充分必要条件；(B)是命题P的充分条件但不是必要条件；(C)是命题P的必要条件但不是充分条件；(D)既不是命题P的充分条件也不是命题P的必要条件。
5、设E ,F,G分别是正四面体ABCD的棱AB,BC,CD的中点，则二面角C- FG- E的大小是( )。
(A)
/collect/201608/11/125054_4c5b5f57e94b317.gif
；(B)
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；(C)
/collect/201608/11/125054_4c5b5f57eac2017.gif
；(D)
/collect/201608/11/125054_4c5b5f57eb7d717.gif
。
/collect/201608/11/125054_4c5b5f57ec38d17.gif
6、在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是( )。
(A)57；(B)49；(C)43；(D)37。
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
1、若
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是以2为周期的偶函数，当
/collect/201608/11/125054_4c5b5f57edafa17.gif
时，
/collect/201608/11/125054_4c5b5f57ee6b017.gif
，则
/collect/201608/11/125056_4c5b5f57ef26617.gif
,
/collect/201608/11/125056_4c5b5f57efe1d17.gif
,
/collect/201608/11/125056_4c5b5f57f09d417.gif
由小到大的排列是_________________。
2、设复数
/collect/201608/11/125056_4c5b5f57f158b17.gif
/collect/201608/11/125056_4c5b5f57f214117.gif
，复数
/collect/201608/11/125056_4c5b5f57f2cf717.gif
在复平面上对应的三个点分别是P,Q,R，当P,Q,R不共线时，以线段PQ,PR为两边的平行四边形的第四个顶点为S，则点S到原点距离的最大值是_______。
3、从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数中取出3个数，使其和为不小于10的偶数，不同的取法有________种。
4、各项为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有___________项。
5、若椭圆
/collect/201608/11/125056_4c5b5f57f38ae17.gif
与抛物线
/collect/201608/11/125056_4c5b5f580022417.gif
有公共点，则实数
的取值范围是_____________。
6、△ABC中，∠C＝90°,∠B＝30°,AC＝2，M是AB的中点，将△ACM沿CM折起，使A,B两点间的距离为
/collect/201608/11/125056_4c5b5f5800ddb17.gif
，此时三棱锥A- BCM的体积等于________。
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三、（本题满分20分）
已知复数
/collect/201608/11/125058_4c5b5f580254817.gif
，求
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的共轭复数
/collect/201608/11/125058_4c5b5f5803d9317.gif
的辐角主值。
四、（本题满分20分）
设函数
/collect/201608/11/125058_4c5b5f580494917.gif
，对于给定的负数
，有一个最大的正数
/collect/201608/11/125058_4c5b5f580550017.gif
，使得在整个区间
/collect/201608/11/125058_4c5b5f58060b617.gif
上，不等式
/collect/201608/11/125058_4c5b5f5806c6d17.gif
都成立。
问：
为何值时，
/collect/201608/11/125058_4c5b5f580550017.gif
最大？求出这个最大的
/collect/201608/11/125058_4c5b5f580550017.gif
，证明你的结论。
五、（本题满分20分）
已知抛物线
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及定点
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,
/collect/201608/11/125100_4c5b5f5808f9017.gif
,
/collect/201608/11/125100_4c5b5f5809b4717.gif
，M是抛物线上的点，设直线AM,BM与抛物线的另一交点分别为
/collect/201608/11/125100_4c5b5f580a6fd17.gif
。
求证：当M点在抛物线上变动时（只要
/collect/201608/11/125100_4c5b5f580a6fd17.gif
存在且
/collect/201608/11/125102_4c5b5f580b2b417.gif
），直线
/collect/201608/11/125102_4c5b5f580be6b17.gif
恒过一个定点，并求出这个定点的坐标。
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1998年全国高中数学联合竞赛答案
一、选择题
1、C；2、B；3、A；4、D；5、D；6、B。
二、填空题
1、
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；2、3；3、51；4、8；5、
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；6、
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。
三、
/collect/201608/11/125102_4c5b5f580ec6617.gif
。
四、
/collect/201608/11/125102_4c5b5f580f81d17.gif
时，
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的最大值是
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。
五、定点是
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。
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